26/12/2020, 18:29
30/12/2020, 18:09
04/01/2021, 12:10
Mathita ha scritto:Un esercizio davvero molto carino (che non sarei stato in grado di risolvere se non avessi riportato l'Hint.)Testo nascosto, fai click qui per vederloLa funzione $g(x)=\cos(\cos(x))\cosh(\sin(x))$ è la parte reale della funzione complessa (di variabile reale) $\tilde{g}(x)=\cos(e^{ix})$ che si presenta esattamente nella forma $f(z_0+\rho e^{ix})$ con $z_0=0,\rho=1$ e $f(z)=\cos(z)$.
Osservato che $f(z)$ è una funzione analitica in $\mathbb{C}$, il corollario della formula integrale di Cauchy garantisce che
$\int_{0}^{2\pi}\cos(e^{ix})\mbox{d}x=2\pi\cos(0)=2\pi$
pertanto
$\int_{0}^{2\pi}g(x)\mbox{d}x=\mbox{Re}\left[\int_{0}^{2\pi}\cos(e^{ix})\mbox{d}x\right]=2\pi$
Spero sia tutto ok!
02/02/2021, 23:22
Sì! Incidentalmente si ottiene gratuitamente un altro integrale sgangherato, cioè \[ \mathfrak{Im} \left[ \int_0^{2 \pi} \cos(e^{i x}) \, dx \right] = 0. \]
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