26/10/2022, 11:43
dan95 ha scritto:procedere per induzione. Credo ...
26/10/2022, 15:47
26/10/2022, 15:53
axpgn ha scritto:But in an 87-05-28 letter, Herb Wilf gives a proof, using the generating function for Stirling numbers of the first kind. His proof in fact shows that $n(n-1)$ divides $y_n(1)$ just if $n-1$ divides $(n-2)!$, which it does for $n>=7$, provided that $n-1$ is not prime
26/10/2022, 16:02
26/10/2022, 17:16
dissonance ha scritto:E allora come fai a rispondere di si? hai tirato ad indovinare eh
02/02/2024, 21:52
02/02/2024, 22:35
Mathita ha scritto:Giusto un commento per fare il punto della situazione: detta $f(x) =x^x$, una volta visto che
$f^{(n+1)}(x)=\sum_{k=0}^n ((n), (k)) f^{(n-k)}(x)[1+\ln]^{(k)}(x) $
e osservato che
$[1+\ln]^{(k)} (x)=(-1)^{k-1}(k-1)!x^{-k}$ per $k>0$
ricaviamo che
$f^{(n+1)}(x)=f^{(n)}(x) (1+\ln(x))+$
$+\sum_{k=1}^n ((n),(k))f^{(n-k)}(x)(-1)^{k-1}(k-1)!x^{-k}$
Da cui otteniamo la valutazione in uno della derivata n+1-esima
$f^{(n+1)}(1)=f^{(n)}(1)+\sum_{k=1}^n ((n),(k))f^{(n-k)}(1)(-1)^{k-1}(k-1)!$
Procedendo per induzione (forte), supponendo che $f^{(i)}(1)\in\mathbb{Z}$ per ogni i da 0 a n, concludiamo che $f^{(n+1)}(1)\in\mathbb{Z}$ (perché il secondo membro è somma di interi). Una volta constatato questo, come faccio a dimostrare che $(n+1)$ divide $f^{(n+1)}(1)$? È questa la parte del problema che mi sta facendo sbarellare.
11/02/2024, 06:23
dissonance ha scritto:Ci sono molte citazioni, se le segui trovi varie dimostrazioni. Quella è una enciclopedia di valori numerici, le dimostrazioni sono solo citate. Comunque avevi ragione, erano tutti interi. Che cosa strana
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