Esercizio topo-algebrico

Propongo il seguente esercizio che trovo molto bello. Vorrei anche conoscere le vostre reazioni

Fonte: "Introduction to commutative algebra", autori M. F. Atiyah e I. G. Macdonald, Addison-Wesley publishing company, pagina 14 (esercizio 26 del capitolo 1, "Rings and Ideals").

Sia $X$ uno spazio topologico compatto e di Hausdorff. Consideriamo l'anello $C(X)$ delle funzioni continue $X to RR$, con somma e prodotto definite per componenti. Sia $Specmax(C(X))$ l'insieme degli ideali massimali di $C(X)$. Per ogni $x in X$ sia $m_x$ il nucleo della valutazione in $x$: $C(X) to RR$. Mostrare che la funzione

$X to Specmax(C(X))$
$x to m_x$

è ben definita ed è biiettiva.

Hint:

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Urysohn

Per chi conoscesse la topologia di Zariski, dare un'interpretazione in tal senso.

In particolare, se i punti sono ideali massimali, mi stavo domandando: cosa perdiamo non considerando gli ideali primi? Forse c'entra il famoso "comportamento di una funzione vicino ad un punto"?

mmh...arrivo a dimostrare che l'applicazione è ben definita e iniettiva ... e come faccio a dimostrare che è suriettiva ...? dovrei mostrare che ogni ideale massimale in C(X) è un insieme di funzioni che si annullano in un certo punto, e come si fa? buh!

comunque più tardi riprovo, solo però che non riesco a seguirti nelle considerazioni finali (naturalmente per colpa mia, non sono molto ferrato su 'ste cose eh ). Se hai voglia, potresti dilungarti un po' di più? grazie!

Se hai voglia, potresti dilungarti un po' di più? grazie!

Non chiedo di meglio

Beh, se abbiamo mostrato che in qualche senso $X cong Specmax(C(X))$ allora abbiamo identificato lo spazio compatto di Hausdorff $X$ con l'insieme degli ideali massimali dell'anello $C(X)$ - che sono in particolare primi. Dal punto di vista geometrico abbiamo identificato un punto con l'insieme delle funzioni continue che si annullano in quel punto
Ora la mia domanda è: come si possono pensare gli ideali primi di $C(X)$ che non sono massimali? Dal punto di vista "geometrico", intendo. Questa domanda nasce dal fatto che di solito sono gli ideali primi ad essere pensati come punti.

Dal punto di vista topologico, credo (non l'ho verificato ma lo credo) che la topologia indotta su $Specmax(C(X))$ dalla topologia di Zariski su $Spec(C(X))$ (l'insieme degli ideali primi di $C(X)$) faccia diventare la nostra biiezione un omeomorfismo.

Se interessa dò un aiuto ulteriore per provare la suriettività. Dato $m \in Specmax(C(X))$ considerare $Sigma = \cap_{f in m} f^{-1}(0)$, prendere un elemento di $Sigma$ e vedere cosa succede.

Il problema è interessante, ma sono ancora agli albori... Nel senso che più che pensare alla funzione in se, mi sto chiedendo che cosa sono gli ideali in questa situazione...

cioè per fare un esempio un attimo fuori dal problema, se ho l'anello $R$ delle funzioni continue $RR\to\RR$

allora gli ideali massimali di R sono tutti gli ideali $J\sub\R$ tali per cui se I è un altro ideale, allora I=J o I=R.

ok fino alla definizione non c'è problema... se in $R=ZZ$ la situazione è semplice, cioè che gli ideali son tutti quelli nella forma $m.ZZ$ ad esempio e son massimali se m è primo.

Ma se R è l'anello delle funzioni continue da $RR$ in $RR$ per esempio i suoi ideali cosa sono esplicitamente (con le operazioni definite per componenti, come nel problema))? questa è una domanda un pò discostata dal problema ma che mi son posto quando l'ho letto... potreste darmi delle delucidazioni grazie... è interessante questo fatto... se andiamo OT apro un altro topic, però potremmo aprire una parentesi su questa domanda nel caso delle funzioni continue da $RR$ in $RR$, che voglio capire meglio cosa sono questi oggetti ? grazie

Ultima modifica di fu^2 il 31/05/2008, 23:02, modificato 1 volta in totale.

allora gli ideali massimali di R sono tutti gli ideali J∈R tali per cui se I è un altro ideale, allora I={0} o I=R.

vuoi dire, se $JsubI$ allora $I=J$ oppure $I=R$?

Ciao fu

In realtà uno degli obiettivi del problema in questione è proprio cercare di capire cosa sono gli ideali massimali dell'anello $C(X)$. Una volta dimostrato che $X \cong Specmax(C(X))$ (in particolare la suriettività) avremo mostrato proprio che un ideale massimale è esattamente l'insieme delle funzioni che si annullano in un dato punto.
Quindi in qualche senso la risposta alle tue domande sta nella soluzione del problema che ho posto .. certo non spiega come sono fatti gli ideali massimali di $C^0(RR,RR)$ ma per esempio spiega bene come sono quelli di $C^0([0,1],RR)$. Se prendi l'anello delle funzioni continue da $[0,1]$ a $RR$, un suo ideale massimale corrisponde ad un punto di $[0,1]$ con la corrispondenza descritta. Per esempio l'ideale massimale che corrisponde a $1/2$ è l'insieme delle funzioni continue $[0,1] to RR$ che si annullano in $1/2$.
In realtà a mio avviso avere un'idea intuitiva su queste cose è abbastanza raro. Per questo mi piace questo problema: dà un'idea molto concreta di cosa sono gli ideali massimali in questo caso.

un' idea per la suriettività (il resto mi sembra più facile, qui lo do per buono). metto in spoiler:

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Fissiamo $m$ ideale massimale, $Sigma$ come sopra. Supponiamo che $Sigma$ non sia vuoto, quindi che esista $x_0$ t.c. tutte le funzioni di $m$ si annullino in $x_0$. Supponiamo per assurdo che $m_(x_0)$ non sia contenuto in $m$. Allora esiste $g in m_(x_0)$ t.c. $[g]in C(X)//m$ non è [0], quindi è invertibile (m è massimale quindi il quoziente è un campo). Questo significa che esiste una funzione h t.c. $g*h-=1\ mod\ m$, quindi $g*h-1$ è una funzione in $m$. Allora $g(x_0)*h(x_0)-1=0$ ($x_0inSigma$) ma $ginm_(x_0)$ e perciò $-1=0$. Aggiungiamo che $m_(x_0)$ è un ideale massimale e possiamo concludere che, se $Sigma$ non è vuoto, $m$ è uno degli $m_x$. Resta da dimostrare che nessun ideale massimale può avere $Sigma$ vuoto.

non so quanto possa essere importante... su queste cose non sono ferrato per niente! solo vorrei sapere se può essere una strada oppure se sto perdendo tempo. grazie!

EDIT: ho riscritto tutto, rileggendolo mi sono accorto che non si capiva niente, forse adesso è più chiaro.

Mi sembra che vada bene...

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...anche se era più facile mostrare che $m \subseteq m_{x_0}$ dato che se $f in m$ allora $f(x_0)=0$ e quindi $f in m_{x_0}$

Ora resta da mostrare appunto che...

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

...$\Sigma$ non è vuoto.

...ovvero come scoprire l'acqua calda!