[Ammissione Sissa '04] Analisi - Spazio funzioni

Un esercizio che ho svolto con alcuni colleghi qualche giorno fa.
Dovrei scriverlo per bene, semmai posso farlo qua in caso di soluzioni proposte differenti dalla nostra.

Esercizio

Sia \( \displaystyle X=C^1([-1,1], \mathbb{R}) \) lo spazio vettoriale delle funzioni \( \displaystyle \phi: [-1,1]\to \mathbb{R} \) derivabili con derivata continua, normato con

\( \displaystyle ||\phi||=\int_{-1}^{1} |\phi(s)|ds+\int_{-1}^{1} |\phi'(s)|ds \)

Verificare che la successione di funzioni

\[
\phi_n(s)=\begin{cases}
1+s & \text{ se } -1\le s < 0\\
1+s-\frac{ns^2}{2} & \text{ se } \quad 0\le s < \frac{1}{n} \\
1+\frac{1}{2n} & \text{ se } \quad \frac{1}{n} \le s \le 1
\end{cases}
\]

è una successione di Cauchy in \( \displaystyle X \) , ma non convergente in \( \displaystyle X \)

Penso che sia più fumo che arrosto.

Buon lavoro!

Ultima modifica di Steven il 16/03/2011, 22:20, modificato 1 volta in totale.

Beh, dai, è abbordabilissimo.

C'è una parentesi tonda di troppo nello specificare lo spazio normato \( \displaystyle X \) !

OUT OF SELF: Ringraziando il cielo non sono un astro nascente della matematica! Detto questo: le prove di ammissione SISSA e SNS sembrano solo a me per niente difficili?

Mi scuso per il necroposting.

Poiché preferisco passare per stupido piuttosto che tenermi un dubbio, domando: l'esercizio è "più fumo che arrosto" e "abbordabilissimo" nel senso che "basta fare i conti": ho capito bene?

Ora non sto a postare tutti i conti (che ho fatto qui su un foglietto), ma la risoluzione procede in questo modo: uno si fa un disegnino per capire come vanno le cose e si calcola il limite puntuale (che è una funzione non derivabile in 0).

Quindi si mette lì con calma e si fa un po' di conticini: presi due interi $n > m$, si calcola \( \displaystyle \Vert \phi_n - \phi_m\Vert \) e alla fine si fa vedere che questa quantità va a $0$ quando $m,n$ sono abbastanza grandi.

E' corretto? Ho frainteso qualcosa?
Ringrazio.

Ma quale necroposting???

Comunque il procedimento per risolverlo è quello che hai esposto!

Grazie mille, Armando.

Esercizio

Sia \( \displaystyle X=C^1([-1,1], \mathbb{R}) \) lo spazio vettoriale delle funzioni \( \displaystyle \phi: [-1,1]\to \mathbb{R} \) derivabili con derivata continua, normato con

\( \displaystyle ||\phi||=\int_{-1}^{1} |\phi(s)|ds+\int_{-1}^{1} |\phi'(s)|ds \)

Verificare che la successione di funzioni

\[
\phi_n(s)=\begin{cases}
1+s & \text{ se } -1\le s < 0\\
1+s-\frac{ns^2}{2} & \text{ se } \quad 0\le s < \frac{1}{n} \\
1+\frac{1}{2n} & \text{ se } \quad \frac{1}{n} \le s \le 1
\end{cases}
\]

è una successione di Cauchy in \( \displaystyle X \) , ma non convergente in \( \displaystyle X \)

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Non è difficile verificare che le \(\phi_n\) sono di classe \(C^1\) (basta fare un disegno: le \(\phi_n\) sono ottenute raccordando "bene" tratti di retta mediante un arco di parabola), né che \(\|\cdot \|\) è una norma su \(C^1([-1,1])\); quindi passiamo avanti.

Si scelgano \(n,p\in \mathbb{N}\) e si consideri la funzione \(\phi_{n+p}-\phi_n\): evidentemente:
\[
\| \phi_{n+p}-\phi_n\| = \| \phi_{n+p}-\phi_n\|_1 +\| \phi_{n+p}^\prime -\phi_n^\prime\|_1
\]
dunque basta calcolare esplicitamente le due norme \(L^1\) che figurano al secondo membro e mostrare che entrambe vanno a zero uniformemente rispetto a \(p\) per ottenere la proprietà di Cauchy.

Si ha:
\[
\begin{split}
\| \phi_{n+p}^\prime -\phi_n^\prime \|_1 &= \int_0^{1/(n+p)} | 1-(n+p) s-1+ns|\ \text{d} s + \int_{1/(n+p)}^{1/n} |1-ns|\ \text{d} s\\
&= p\ \int_0^{1/(n+p)} s\ \text{d} s + \int_{1/(n+p)}^{1/n} (1-ns)\ \text{d} s\\
&= \frac{p}{2(n+p)^2} + s-\frac{n}{2}s^2\Bigg|_{1/(n+p)}^{1/n} \\
&= \frac{p}{2(n+p)^2} + \frac{p}{n(n+p)} - \frac{n}{2}\ \frac{(n+p)^2-n^2}{n^2(n+p)^2} \\
&= \frac{np+2p(n+p)-p(2n+p)}{2n(n+p)^2}\\
&= \frac{p}{2n(n+p)}\\
&= \frac{1}{2} \left( \frac{1}{n}-\frac{1}{n+p} \right)\\
&\leq \frac{1}{2n}
\end{split}
\]
quindi \(\| \phi_{n+p}-\phi_n\|_1\to 0\) uniformemente rispetto a \(p\); inoltre:
\[
\begin{split}
\| \phi_{n+p} -\phi_n \|_1 &= \int_0^{1/(n+p)} \left| \frac{n+p}{2} s^2- \frac{n}{2} s^2 \right|\ \text{d} s + \int_{1/(n+p)}^{1/n} \left| \frac{1}{2(n+p)} -s+\frac{n}{2} s^2 \right|\ \text{d} s + \int_{1/n}^1 \left| \frac{1}{2(n+p)}-\frac{1}{2n}\right|\ \text{d} s\\
&= \frac{p}{6(n+p)^3} + \frac{p^2(3n+2p)}{6n^2(n+p)^3} + \frac{p(n-1)}{2n^2(n+p)}
\end{split}
\]
(se non ho sbagliato i conti), quindi per \(p\to \infty\) si ha:
\[
\| \phi_{n+p} -\phi_n \|_1 \approx \frac{1}{3n^2} + \frac{n-1}{2n^2}
\]
perciò anche \(\| \phi_{n+p} -\phi_n \|_1 \to 0\) uniformemente rispetto a \(p\). Ciò è quanto volevamo.

Per concludere, basta far vedere che il limite di \(\phi_n\) non sta in \(C^1\).
Ovviamente, bisogna farsi un'idea di chi sia il limite: in proposito notiamo che la successione assegnata converge puntualmente verso la funzione:
\[
\phi (x) := \begin{cases} 1+s &\text{, se } -1\leq s<0\\
1 &\text{, se } 0\leq s\leq 1
\end{cases}
\]
perciò abbiamo un "candidato" ad essere il limite di \((\phi_n)\) rispetto alla norma \(\| \cdot\|\).
Ovviamente adesso bisogna verificare che risulta \(\| \phi_n - \phi\| \to 0\), i.e. che valgono le relazioni:
\[
\| \phi_n-\phi \|_1 \to 0 \quad \text{e} \quad \| \phi_n^\prime -\phi^\prime \|_1 \to 0
\]
ove \(\phi^\prime\) è la derivata classica di \(\phi \), che esiste q.o. in \([-1,1]\).
Si ha:
\[
\begin{split}
\| \phi_n - \phi \|_1 &= \int_0^{1/n} \left( s-\frac{n}{2} s^2\right)\ \text{d} s + \int_{1/n}^1 \frac{1}{2n}\ \text{d} s\\
&= \frac{1}{2n^2} - \frac{n}{6n^3} + \frac{n-1}{2n^2}\\
&= \frac{3n-1}{6n^2}\\
\| \phi_n^\prime -\phi^\prime \|_1 &= \int_0^{1/n} (1-ns)\ \text{d} s\\
&= \frac{1}{n} - \frac{n}{2n^2}\\
&= \frac{1}{2n}
\end{split}
\]
che è quanto volevamo.
Dato che \(\phi\) non è in \(C^1([-1,1])\) ciò chiude l'esercizio.

P.S.: Ovviamente il completamento di \(C^1([-1,1])\) rispetto alla norma assegnata è \(W^{1,1}(-1,1)\) ed il limite \(\phi\) della successione \((\phi_n)\) sta in quest'ultimo spazio.

Probabilmente, però, si può risolvere facendo meno conti...