Problema 1
E' noto che in un triangolo i 3 cerchi che sono individuati ciascuno da 2 vertici e dall'ortocentro hanno lo stesso diametro.
(Diametro che e' anche uguale a quello del circocentro).
I due cerchi $CDA$ e $CDB$ hanno quindi lo stesso diametro e sono simmetrici rispetto alla retta $CD$, passando entrambi per $C$ e per $D$.
La retta $AB$ che e' perpendicolare a $CD$ interseca i cerchi nei due punti $A$ e $P$ che quindi sono simmetrici rispetto a $CD$.
Ne segue che ribaltando $A$ rispetto alla retta $CD$, lo stesso $A$ coincide con $P$.
Inoltre ribaltando $S$ rispetto alla retta $AB$, $S$ va a coincidere con $D$, per come e' stata costruita la figura.
Quindi ribaltando la retta $SY$ rispetto alla retta $AB$, $SY$ coincide con la retta $BD$, siccome le rette $SY$ e $BD$ sono perpendicolari entrambe alla retta $CA$ per costruzione e i punti $S$ e $D$ vanno a coincidere.
A questo punto gli angoli $\hat {ASY}$ e $\hat{PDB}$ sono coincidenti, sono uguali.
Si noti inoltre che banalmente $\hat {PCX}=\hat{PCB}$.
Il problema e' quindi analogo a dimostrare che $\hat{PDB} = \hat{PCB}$
Quest'ultima relazione e' vera siccome sia $\hat{PDB}$ che $\hat{PCB}$ hanno il vertice sullo stesso cerchio $CDB$ e sottendono la stessa corda $PB$.
Questo li rende uguali in virtu' del teorema degli angoli al centro e alla circonferenza.
https://www.geogebra.org/calculator/xp6je8tc