Triangolo

Esatto!


Cordialmente, Alex

Ho trovato la soluzione anche nel caso generale, ma con calcoli trigonometrici abbastanza lunghi e quindi mi limito ad indicare la risposta finale, nella speranza che qualcuno la dimostri in modo più rapido. Magari quel qualcuno sarò io, che continuerò a pensarci.

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In ogni caso, si ha il minimo quando D è il piede dell'altezza uscente da A

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La risposta è corretta ma come hai giustamente intuito non è necessario ricorrere alla trigonometria


Cordialmente, Alex

Eureka! Un po' di trigonometria è però necessaria, a meno di lunghi giri.

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I punti E, F stanno sulla circonferenza di diametro AD perché lo vedono sotto un angolo retto. Su EF insiste l'angolo $ E hatA F=alpha$ e quindi per il teorema della corda $EF=AD sin alpha$. Perciò EF è minimo quando lo è AD, che deve quindi essere perpendicolare a BC.

La strada è quella giusta ma la trigonometria non serve e neppure lunghi giri

Senza trigonometria:

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Il quadrilatero $AEDF$ non sarà un rettangolo in un triangolo arbitrario però è sempre ciclico.
Quindi $EF$ non solo è una corda ma è sottesa sempre allo stesso angolo ($\hatA$).
Più piccolo è il cerchio, più corta è la corda.

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Più corto è il diametro, più piccolo è il cerchio.
Ma il diametro è sempre $AD$ ($\hatE$ e $\hatF$ sono retti) e $AD$ è minimo quando $AD$ è perpendicolare a $BC$.

Cordialmente, Alex