Area privata

Si considerino $n$ pianeti nello spazio, con $n$ intero positivo.
Non ci sono altri corpi celesti oltre agli $n$ pianeti, i quali sono tutti sfere di raggio $R$ (uguale per tutti).
Un punto sulla superficie di un pianeta si dice privato se non può essere "visto" da nessun altro pianeta.
Calcolare il valore dell'area privata totale.

Tentativo di soluzione parziale:

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Per $n=2$ da ciascun pianeta è possibile vedere metà della superficie dell'altro pianeta, dunque l'area privata totale è pari alla superficie di un pianeta: $4 \pi R^2$.

Per $n=3$ servirebbe una figura, ma provo a descriverla senza fare il disegno.
Sia $ABC$ il triangolo formato dai centri dei pianeti, $\alpha$, $\beta$ e $\gamma$ gli angoli rispettivamente ai vertici $A$, $B$ e $C$. Consideriamo il piano perpendicolare a $AB$ passante per $A$, e quello perpendicolare ad $AC$ passante per $A$; le cui proiezioni sul piano del triangolo sono due rette incidenti in $A$ (sia $\alpha$ angolo acuto). L'angolo tra le due rette e includente $\alpha$ è dato da:
\( \displaystyle 2 \left ( \frac{ \pi}{2} - \alpha \right ) + \alpha = \pi - \alpha \)
L'angolo opposto al vertice di questo ha la stessa ampiezza, e contiene l'area privata del pianeta con centro in $A$, che misura:
\( \displaystyle \frac{ \pi - \alpha}{2 \pi} 4 \pi R^2 = ( \pi - \alpha ) 2R^2 \)
Se $\alpha$ fosse ottuso cambia un po' la figura, ma il risultato è lo stesso.
Dunque l'area privata totale è:
\( \displaystyle ( 3 \pi - \alpha - \beta - \gamma ) 2R^2 = ( 3 \pi - \pi ) 2R^2 = 4 \pi R^2 \)

Per $n>3$, se i centri dei pianeti formano un poligono convesso, si può utilizzare un analogo ragionamento, e quando si va a sommare le aree private dei singoli pianeti per ottenere l'area privata totale si ottiene:
\( \displaystyle ( n \pi - (n-2) \pi ) 2R^2 = 4 \pi R^2 \)
Se i vertici formano un poligono concavo, si può sempre pensare come un poligono convesso con meno vertici, più altri punti aggiuntivi interni al poligono convesso. I pianeti interni hanno area privata nulla, e non modificano le aree private degli altri pianeti (forse andrebbe fatta un po' più fatica per dimostrarlo), dunque l'area privata totale è la stessa che si avrebbe considerando solo i pianeti che formano il poligono convesso, cioè $4 \pi R^2$.

In generale, per $n>3$, i centri dei pianeti non sono vincolati su un piano, il che complica le cose, tuttavia mi aspetto che il risultato non cambi.
La strategia che ho pensato è di dimostrare che dato un sistema di $n$ pianeti con area privata $4 \pi R^2$, aggiungendo un pianeta, la sua area privata sarà pari alla somma delle aree visibili da questo pianeta di zone private nel sistema di $n$ pianeti.

Bene
Praticamente hai avuto tutte le idee che ho usato io per risolvere il problema, cerca di spremerle fino in fondo (e soprattutto di replicare il ragionamento 2D per adattarlo nello spazio 3D)

Intanto proverei anche un'altra via, ma forse è vicina all'ultima considerazione di robbstark quindi la metto in spoiler

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...Si guardano proprio i singoli punti anzichè le regioni...

La tesi quindi può essere rivista in questo modo...

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Prendo una sfera, sia $O$ il suo centro e $A$ un punto sulla sua superficie. Adesso su ogni altra sfera prendo il punto corrispondente ad $A$. Ovvero il punto che trovo mandando vettori paralleli ad $OA$ passanti per il centro di ogni sfera e che intersecano ogni sfera nel verso $OA$. (In pratica quelli aventi la stessa latitudine e longitudine...)
Si tratta di dimostrare che per ogni punto $A$ esiste una ed una sola sfera dove tal punto è privato (tranne casi eccezionali).
Questo dovrebbe essere equivalente alla tesi perchè se ogni punto è privato su una e una sola sfera vuol dire che componendo insieme tutti i punti privati ogni punto viene contato una sola volta e messi insieme danno proprio la superficie di una sfera.

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Non so se ho spiegato bene cosa volevo dimostrare.. Quindi prendo un punto $A$ e prendo un piano perpendicolare ad $OA$ inizialmente molto lontano dalle sfere. Lo avvicino pian pianino alle sfere sempre facendolo scorrere lungo il vettore $OA$. Prima o poi tale piano toccherà una sfera in un punto corrispondente al punto $A$. Tale punto è sicuramente privato, proprio perchè dall'altra parte del piano non poteva essere visto da nessuna sfera. Ora se faccio scorrere ancora il piano, in ogni altra sfera toccherò il punto corrispondente ad $A$ che stavolta non sarà più privato perchè ha delle sfere davanti a lui.
Le eccezioni si hanno quando avvicinando il piano, al primo impatto tocco diversi punti... Ma si nota "visivamente " che i punti toccati in quel modo sono proprio i punti che fanno da perimetro di confine tra una zona privata e una zona non privata quindi sono al più archi di circonferenza che non influiscono sulla superficie totale.
Quindi facendo variare $A$ e montando insieme tutti i punti privati trovati in questo modo riesco a coprire una sola volta una sfera intera tranne qualche arco di circonferenza.

Praticamente hai avuto tutte le idee che ho usato io per risolvere il problema, cerca di spremerle fino in fondo

Non ci sono altri corpi celesti oltre agli $n$ pianeti [...]

Ma allora NON sono pianeti!

Scusate se mi ripeto.

Che bisogno c'è di presentare un problema di geometria in una specie di allegoria?
[Sto pensando anche a quell'altro caso, quello delle "radio-boe"].
Non sarebbe meglio restare in ambito geometrico?
Per esempio, (sempre se ho capito giusto), l'esordio di questo quiz potrebbe essere:
« Considera nello spazio $n$ sfere disgiunte di raggio R in posizioni qualsiasi.»
–––––––––––
Comunque ... mi pare che la risposta non dipenda dal numero $n$ delle sfere e sia sempre $4πR^2$.
_______

Uso un procedimento simile a xXStephXx, o forse lo stesso: mi sono accorto che aveva un procedimento simile solo dopo aver scritto la risposta e ho letto la sua velocemente.

Testo nascosto, perché contrassegnato dall'autore come fuori tema. Fai click in quest'area per vederlo.

Osserviamo che le sfere possono essere considerate come la stessa sfera traslata nello spazio. Ovvero esiste una traslazione che manda ogni sfera in ogni altra, associo quindi i punti utilizzando queste traslazioni.

Data una coppia di sfere ogni punto visibile da una è invisibile dall'altra, tranne un insieme di misura nulla (una circonferenza) che suppongo per comodità sia visibile che invisibile. Questo significa che l'area privata in una particolare sfera è senz'altro visibile in ogni altra sfera (dove ho identificato i punti per traslazione). In altre parole l'area totale non può essere maggiore dell'area della sfera.

Supponiamo per assurdo che sia strettamente minore. Allora esiste un punto che è visibile in tutte le sfere e che non appartiene a nessuna delle circonferenze problematiche (è possibile farlo perché queste circonferenze hanno misura nulla e questo punto è preso per assurdo in un insieme di misura non nulla). Prendiamo quindi il versore direzione che va dal centro della sfera verso questo punto. Esisterà quindi una sfera il cui centro avrà tutti gli altri centri nella direzione opposta a questa direzione. È piuttosto evidente che nessun'altra sfera può coprire quel punto su questa sfera e quindi l'assurdo (una direzione è visibile da una particolare sfera se la sua proiezione sul vettore verso il centro di quella sfera ha modulo positivo ma ho preso una sfera per cui questo è sempre falso).

Ah non me lo ricordavo, era abbastanza curioso questo fatto