Questa non è una semplice equazione funzionale, in quanto $p(x)$ è un polinomio, non una funzione.
Ecco il mio ragionamento. Spero, oltre al fatto che sia corretto, che sia anche istruttivo per qualcuno.
Se $p(x)$ è un polinomio costante ($p(x)=k$) si ottengono le sole soluzioni $k=0$ e $k=1$, gli unici valori che soddisfano $k=k^2$. D'ora in poi supporremo che $p(x)$ sia un polinomio di grado $n>=1$, e che quindi ammetta
esattamente $n$ radici complesse
, (non necessariamente tutte distinte tra loro).
La prima osservazione è che $p(x^2)$ e $p(x)p(x+1)$ sono uguali come polinomi (cioè hanno gli stessi coefficienti), in quanto la loro differenza, annullandosi in infiniti punti (tutti i reali) è il polinomio nullo.
Consideriamo ora il coefficiente di $x^n$ del polinomio $p(x)$, e chiamiamolo $a$. Allora anche il polinomio $p(x+1)$ ha coefficiente di testa $a$, e lo stesso vale per $p(x^2)$. Quindi bisogna avere $a=a*a$, cosicché l'unica possibilità è che $a$ sia uguale a $1$ (il coefficiente non può essere nullo). Questo fatto ci sarà utile più avanti.
Indicando con $z_1, z_2, ..., z_n \in\mathbb{C}$ le radici di $p(x)$:
- le radici di $p(x+1)$ sono $z_1-1, z_2-1, ..., z_n-1$.
- le radici di $p(x^2)$ sono $\pm\sqrt{z_1}, \pm\sqrt{z_2}, ..., \pm\sqrt{z_n}$.
Ma essendo $p(x^2) = p(x)p(x+1)$, allora ogni radice di $p(x)$ o $p(x+1)$ è anche radice di $p(x^2)$.
Allora i numeri $z_1, z_2, ..., z_n, (z_1-1), (z_2-1), ..., (z_n-1)$ devono coincidere, non necessariamente in ordine, ai numeri $\pm\sqrt{z_1}, \pm\sqrt{z_2}, ..., \pm\sqrt{z_n}$.
Tra $\sqrt{z_1}, \sqrt{z_2}, ..., \sqrt{z_n}$, scegliamo $\sqrt{z_i}$ in modo che il suo modulo sia massimo possibile, e supponiamo che tale modulo sia maggiore di $1$. Si ha che $1 < |\sqrt{z_i}| < |z_i|$. Allora $z_i$ ha modulo maggiore rispetto a qualunque radice di $p(x^2)$, il che è assurdo perché, come affermato prima, $z_i$ stesso è una radice di $p(x^2)$.
Tra $\sqrt{z_1}, \sqrt{z_2}, ..., \sqrt{z_n}$, scegliamo $\sqrt{z_i}$ diverso da $0$ in modo che il suo modulo sia minimo possibile, e supponiamo che tale modulo sia minore di $1$. Si ha che $1 > |\sqrt{z_i}| > |z_i|$.Allora $z_i$ ha modulo minore rispetto a qualunque radice non nulla di $p(x^2)$, il che è assurdo perché, come affermato prima, $z_i$ stesso è una radice di $p(x^2)$.
Abbiamo concluso che ogni radice di $p(x^2)$ (e quindi anche di $p(x)$ e di $p(x+1)$) deve essere $0$ oppure avere modulo $1$. In altre parole, queste radici nel piano di Gauss si trovano nell'origine oppure nella circonferenza di raggio $1$ che è di colore verde in figura.
Come si evince dalla figura, senza dilungarsi in parole, le uniche radici di $p(x)$ possibili sono i punti segnati in rosso, e le corrispondenti radici di $p(x+1)$ sono i punti di arrivo delle frecce che partono dai punti rossi.
Però la radice quadrata del numero corrispondente al punto rosso che si trova più in alto in figura non corrisponde a una possibile radice di $p(x)$ o $p(x+1)$. Lo stesso vale per quello che si trova in basso. Pertanto le uniche radici di $p(x)$ possibili sono $0$ e $1$.
Quindi, ricordando che $p(x)$ è monico, possiamo scrivere $p(x) = x^k(x-1)^j$ con $k$ e $j$ naturali.
Di conseguenza $p(x+1) = (x+1)^kx^j$.
$x^{k+j}(x-1)^j(x+1)^k = p(x)p(x+1) = p(x^2) = x^{2k}(x^2-1)^j = x^{2k}(x-1)^j(x+1)^j$
Quindi $k = j$, e in conclusione non ci sono soluzioni diverse rispetto a quelle elencate nel post precedente.
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milizia96 il 02/03/2015, 17:31, modificato 1 volta in totale.