Corde

If a curve has the property that every chord joining every two points on it meets the curve at the same angle at the two points, is the curve always a circle, or are there other curves with this same property?


Nota: Ho preferito lasciarlo in originale.


Cordialmente, Alex

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2 linee parallele.

Non so se vale come curva...

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Non penso che l'estensore del problema la riterrebbe una curva ma, al di là di questo, non ha le caratteristiche richieste

Cordialmente, Alex

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Non penso che l'estensore del problema la riterrebbe una curva ma, al di là di questo, non ha le caratteristiche richieste

Cordialmente, Alex

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Perche' non ha le caratteristiche richieste ? Si possono pensare le due rette come se si congiungessero all'infinito formando cosi' una sola curva.
Voglio dire: la corda sarebbe quella del teorema di Talete.

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"Ogni corda" non "Una corda"

Cordialmente, Alex

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Vedo che l'esempio delle parallele non riscuote successo.
Ogni corda che collega le parallele crea angoli uguali, ogni corda.
La corda $AB$ crea in $A$ gli angoli $\alpha$ e $\beta$ e in $B$ crea gli angoli $\beta$ e $\alpha$.
Magari si puo' dire che gli angoli sono scambiati rispetto all'esempio del cerchio, ma non vedo altri problemi di sorta.

Comunque, scartate le parallele, allora direi che le uniche due curve sono il cerchio e la retta.
Sulla retta gli angoli sono tutti zero (e 180 gradi). Del resto la retta altro non e' che un cerchio di raggio infinito.

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Magari si puo' dire che gli angoli sono scambiati rispetto all'esempio del cerchio, ma non vedo altri problemi

Premesso che la retta è un esempio un po' al limite ma comunque, sempre al limite, sarebbe sempre un cerchio, il problema rimane ancora aperto: o si trova un'altra curva o si dimostra che il cerchio è l'unica.

Cordialmente, Alex

Io riesco a dimostrare che ogni quadrilatero avente per lati corde con quella proprietà è inscrivibile in una circonferenza, ma non so se basta: resta il dubbio che sia inscrivibile anche in un'altra curva. Mi sembra però impossibile che questo succeda per ogni quadrilatero.

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Siano $A, B, C, D$ quattro punti della curva; indico con $hatA$ l'angolo interno del quadrilatero e con $alpha$ i due angoli uguali formati dalla curva con la corda $AB$; proseguo analogamente, ruotando nello stesso verso. Ho quindi
${(hatA+delta+alpha=pi),(hatB+alpha+beta=pi),(hatC+beta+gamma=pi),(hatD+gamma+delta=pi):}$

Sommandole tutte ottengo

$(hatA+hatB+hatC+hatD)+2(alpha+beta+gamma+delta)=4pi$

e poiché la prima parentesi vale $2pi$

$2pi+2(alpha+beta+gamma+delta)=4pi->alpha+beta+gamma+delta=pi$

Sommando ora la prima e la terza delle precedenti formule ho

$hatA+hatC+(alpha+beta+gamma+delta)=2pi->hatA+hatC+pi=2pi->hatA+hatC=pi$

che dimostra che il quadrilatero è inscrivibile in una circonferenza.

Prova con i triangoli

Mi spiace, ma proprio non vedo come utilizzare i triangoli. In compenso, ho trovato come superare il mio dubbio iniziale; se ne è però aperto un altro.

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Presi tre punti sulla curva, la mia dimostrazione dice che ogni altro punto si trova sulla circonferenza da essi individuata; la circonferenza è quindi l'unica soluzione (a parte le due rette di Quinzio, in cui gli angoli sono da parte opposta della corda).
Se i tre punti sono allineati, sembra che la circonferenza degeneri in una retta, ma non è così. Ad esempio, la curva può essere una sinusoide, di cui abbiamo casualmente preso tre punti con la stessa $y$ (ricordiamo che in geometria gli angoli non hanno segno).