Spazio dedicato a problemi assegnati a gare matematiche o olimpiadi della matematica, o ancora a prove di ammissione a scuole di eccellenza.
25/10/2022, 22:34
Se $n$ è un intero maggiore di $1$, provare che $n^(n-1)-1$ è divisibile per $(n-1)^2$.
Cordialmente, Alex
26/10/2022, 06:17
Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Abbiamo che
$n^(n-1)-1=(n-1)(n^(n-2)+n^(n-3)+\cdots+n+1)=(n-1)[(n-1+1)^(n-2)+(n-1+1)^(n-3)+\cdots+n-1+1+1]$
Sviluppando i binomi con Newton del secondo fattore abbiamo
$(n-1+1)^(n-2)+(n-1+1)^(n-3)+\cdots+n-1+1+1=k(n-1)+n-1$
Per qualche intero $k$ da cui la tesi.
26/10/2022, 22:10
Cordialmente, Alex
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