Un'altra cubica

Determinare tutti i valori razionali per cui $a, b, c$ sono le radici dell'equazione $x^3+ax^2+bx+c=0$


Cordialmente, Alex

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Dato il polinomio: \[
p(x) = x^3 + a\,x^2 + b\,x + c
\] se \(p(a) = p(b) = p(c)=0\) allora: \[
p(x) = (x-a)(x-b)(x-c)
\] ossia: \[
p(x) = x^3 - \left(a+b+c\right)x^2 + \left(a\,b+a\,c+b\,c\right)x - a\,b\,c
\] e per confronto: \[
\begin{cases}
a+b+c = -a \\
a\,b+a\,c+b\,c= b \\
a\,b\,c = -c \\
\end{cases}
\quad \quad \Leftrightarrow \quad \quad
\begin{cases}
c = -2\,a - b \\
2\,a^2 + b^2 + 2\,a\,b + b = 0 \\
(2\,a + b)\,(a\,b + 1)= 0 \\
\end{cases}\,.
\] In particolare, se \(b = -2\,a\) allora \(2\,a\,(a-1)=0\) e \(c=0\), da cui: \[
(a,b,c)=(0,0,0) \quad \vee \quad (a,b,c)=(1,-2,0)\,.
\] Invece, se \(b = -\frac{1}{a}\) allora \(\frac{(a-1)\left(2a^3+2a^2-1\right)}{a^2}=0\) e \(c = \frac{1-2a^2}{a}\), da cui solo: \[
(a,b,c) = (1,-1,-1)\,,
\] in quanto le uniche candidate razionali \(a = \pm 1\) o \(a = \pm \frac{1}{2}\) non annullano il fattore cubico.

Ok

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Però son più belle scritte così

$x^3=0$

$x^3+x^2-2x=0$

$x^3+x^2-x-1=0$

Cordialmente, Alex

Ed ancora:

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Un altro Kubica.

@gugo82:

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Ma alle 4 del mattino che ci fai sveglio? Stavi accendendo il fuoco con paglia e bastoncini?

@gugo82:

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Ma alle 4 del mattino che ci fai sveglio? Stavi accendendo il fuoco con paglia e bastoncini?

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No, preparavo compiti in classe.