A quadratic and its derivative

Describe a real quadratic function $f$ such that the graph of its derivative $f'$ is tangent to the graph of $f$.



Cordialmente, Alex

Describe a real quadratic function $f$ such that the graph of its derivative $f'$ is tangent to the graph of $f$.



Cordialmente, Alex

Bisogna che \(f(x)=ax^2+bx+c\) sia tale che \(f(x_0)=f'(x_0)\) per qualche $x_0$, cosicché i grafici delle due funzioni si intersechino, in un punto in cui lo fanno con la stessa tangente, quindi \(f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0) = f'(x_0)+f''(x_0)(x-x_0)\) devono essere la stessa retta, si tratta quindi di risolvere il sistema\[\begin{cases}f(x_0)=f'(x_0)\\f'(x_0)=f''(x_0)\end{cases}\] che non è che abbia molte soluzioni...

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Una funzione quadratica (normalizzata, senza perdere di generalita') $$f(x)= y=x^2+bx+c$$
la cui derivata e' $$f'(x)= y= 2x + b$$
sottraiamo m.a.m. le due equazioni $$x^2 + (b-2)x + c - b = 0$$
otteniamo un'altra eq. quadratica. Se il punto di intersezione deve essere unico, il discriminante deve essere nullo.$$\Delta = (b-2)^2 - 4(c-b) = 0$$
$$\Delta = b^2 - 4c + 4 = 0$$
Da cui $$c = 1 + \frac{b^2}{4}$$
e infine si ottiene $$f(x)= x^2+bx+1 + \frac{b^2}{4}$$

Ultima modifica di Quinzio il 21/10/2023, 22:00, modificato 1 volta in totale.

@megas_archon
Scusami ma non ho capito cosa devo trovare ... risolvendo quel sistema (sempre che abbia capito cosa intendi per risolvere) non ottengo quanto richiesto ...

@Quinzio
Quello è un caso particolare, non generale ...

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Non ho capito, in che senso e' un caso particolare ?
Manca il coefficiente di \(x^2\), ma e' facile aggiungerlo.

$$f(x)= ax^2+abx+a + \frac{ab^2}{4}$$

A posteriori è facile, a priori non è detto
Ed infatti il tuo primo è un caso particolare di quella generale

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La mia versione è $f(x)=ax^2+bx+a+b^2/(4a)$

Se $b=0$ abbiamo $f(x)=ax^2+a$


La descrizione data dal prof che l'ha ideata è: le parti immaginarie delle sue radici sono $1$ e $-1$

La mia soluzione è la stessa di megas_archon, a parte che l'ascissa del punto di tangenza è indicata con $u$ e non con $x_0$.

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Preferisco inoltre scrivere la funzione nella forma
$f(x)=a(x-u)^2+b(x-u)+c$
da cui ricavo $f'(x)=2a(x-u)+b$ e $f''(x)=2a$.
Poiché nel punto di tangenza si ha la stessa ordinata e la stessa pendenza, deve essere
${(f(u)=f'(u)),(f'(u)=f''(u)):}->{(c=b),(b=2a):}->c=b=2a$
Ho quindi il risultato
$f(x)=a[(x-u)^2+2(x-u)+2]$

Però non capisco una cosa ...

L'espressione mia (come quella di Quinzio) della generica funzione quadratica che risponde alla richiesta è più generale (più "semplice") rispetto a quella indicata da voi, quindi mi chiedo "cosa c'è di sbagliato nella mia?"

Non mi pare che nella tua soluzione ci sia qualcosa di sbagliato; è solo diversa. Non ho fatto i calcoli, ma puoi farli tu; tieni presente che le mie $b,c$ hanno un significato diverso dalle tue.