06/02/2024, 03:51
07/02/2024, 00:55
davicos ha scritto:"Si consideri il segnale \( \displaystyle x(t) = 1_{[t, t+1]} (a) + u(t) \cdot e^{- t} \)
per quale valore di $a$ il segnale $x'(t)$ (nel senso delle distribuzioni) contiene esattamente una Delta di Dirac?"
07/02/2024, 01:41
07/02/2024, 08:30
davicos ha scritto:Vedendo il parametro tra parentesi mi sa tanto di "funzione in $a$"
08/02/2024, 13:34
08/02/2024, 15:39
08/02/2024, 17:44
davicos ha scritto:sì va be ormai ci ho fatto l'abitudine a vedere esercizi "semplici" farli diventare molto più complessi, vuoi per dolo del professore
sarebbe come la funzione porta quindi (con estremi $t$ e $t+1$)?
Vorrei riproporre lo svolgimento dell’esercizio tenendo in considerazione delle nuove informazioni acquisite. Vorrei che mi correggeste se ci fosse qualcosa di errato.
$ x(t) = 1_[t, t+1] (a) + u(t) * e^(-t) $
Ora essendo che manipolare la funzione caratteristica con la variabile $ t $ mi confondo (l’ho notato andando avanti nei conti) la sostituisco con $ tau $.
Quindi avrei
$ x(t) = 1_[tau, tau+1] (a) + u(t) * e^(-t) $
$ x_1(t) = a*1_[tau, tau+1]$
$ x_2(t) = u(t) * e^(-t) $
$ x_1(t) rarr $ salti: $ { ( t_1 = tau ),( [[x]]_tau = a ):}
{ ( t_2 = tau+1 ),( [[x]]_(tau+1) = -a ):} $
$ x_1^d (t) = { ( 0 rarr t<tau ),( 0 rarr tau<t<tau+1 ),( 0 rarr t>tau+1 ):} $
$ ( a*1_[tau, tau+1] )’= 0 + a*delta (t – tau) – a*delta(t- (tau+1)) $
---
$ x_2(t) rarr $ salti: $ { ( t_1=0 ),( [[x]]_0 = 1 ):} $
$ x_2^d (t) = { ( 0 rarr t<0),( -e^(-t)rarr t>0 ):} $
$ ( u(t) * e^(-t) )' = - e^(-t) + 1*delta(t-0) = -u(t)*e^(-t) + delta(t)$
In conclusione:
$ x'(t) = a*delta (t - tau) - a*delta(t - tau+1) - e^(- t) + delta(t) $
Quindi per avere esattamente una delta di Dirac necessariamente $ a=0$ così si avrebbe $ -u(t)*e^(-t) + delta(t) $
Corretto?
Ho sostituito $t$ con $tau$ altrimenti nella funzione caratteristica avrei avuto
salti: $ { ( t_1 = t),( [[x]]_t= a ):}
{ ( t_2 = t+1 ),( [[x]]_(t+1) = -a ):} $
e
$ x_1^d (t) = { ( 0 rarr t<t ),( 0 rarr t<t<t+1 ),( 0 rarr t>t+1 ):} $
08/02/2024, 22:47
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