Dubbio su dimostrazione (relatività ristretta)

Salve, vorrei chiedervi di chiarirmi un dubbio, sorto dalla lettura del mio libro, che riporto.
Nel seguito non indicherò i vettori con la freccia sopra perché il mio problema è proprio il fatto che non capisco se siano vettori o quadrivettori.
Nella legge relativistica delle forze si ha:

$F = (dp)/(dt) = d/(dt) (m_0 gamma u) = m_0gamma*a + m_0 (dgamma)/(dt)*u$

se si svolgono i conti si nota che $(dgamma)/(dt) = gamma^3 * (u*a)/c^2$

quindi alla fine dei giochi rimane:

$F = m*a + gamma^2 (u*a)/c^2 *u$

e fin qui son d'accordo. Adesso però il dubbio. Il mio libro definisce l'energia come la funzione E tale che:
$dE/dt = F*u = m*gamma^2 u*a= m_0 c^2 (dgamma)/(dt)$

E qui non capisco cosa succeda. In pratica moltiplicando $F*u$ si ha che $ma*u = 0 $ e $mgamma^2/c^2* (u*a)u^2 = mgamma^2 u*a$

Allora io so che la relazione $a*u = 0 $ è valida per i quadrivettori, così come so che $u^2 = c $ vale per la quadrivelocità. Però fin qui sembra che usi soltanto i vettori, e non i quadrivettori. Però se $a*u = 0$ perché questa relazione non vale anche per $u*a$ ? cioè o $u*a = 0$ oppure no, ma dai calcoli una volta fa 0 e un'altra no... non capisco, qualcuno può aiutarmi? io mi sono spiegato il tutto così:

$a$ e $u$ sono quadrivettori, ma il prodotto scalare che c'è all'interno dell'espressione della forza è fatto tra vettori normali. Però non capisco perché il libro non li indichi con il consueto simbolo dei quadrivettori, cioè $a^mu$ e $u_(mu)$...

buffo, non l'ho mai vista l'energia definita cos,,,

ma con $u$ inidica il quadrivettore? non è che considera solo la parte spaziale di essi?... essendo che l'espressione $p=m_0\gamma u$ è la parte non temporale della quantità di moto...

è una domanda, poi non so ...

ps $a_{\mu}u^{\mu}=0=u_{\mu}a^{\mu}$!

Il problema è che non capisco cosa indichi. Cioè l'unico modo che si ha per avere $F*u= mgamma^2u*a$ è considerare corretta questa espressione:

$F_mu = m* (a_mu + gamma^2* (\vecu*\veca)/ c^2* u_mu)$

infatti poi se si moltiplica per il quadrivettore u si ottiene proprio:

$F_mu U^mu = 0 + m gamma^2* (\vecu*\veca)$ in virtù del fatto appunto che $a_mu *u^mu= 0$ e $u_mu*u^mu = c^2$. Altrimenti non so spiegarmi come si passi dall'espressione di F a quella di $F*u$... insomma un bel casino....

Sul libro scrive F, u, a in grassetto, quindi sarei portato a dire che indica i vettori... inoltre definisce la quantità di moto come $\vecp = m_0 gamma * \vecu$ dove u è la componente spaziale della velocità. Insomma mi pare confonda quadrivettori e vettori!!! A mio avviso ha sbagliato alla grande...

se non ti torna la storia e conosci le lagrangiane in relatività potresti trovare l'hamiltoniana e derivarla nel tempo e vedere se ti torna la formula del tuo libro... ...

No purtroppo la trattazione lagrangiana alla meccanica relativa non l'ho ancora affrontata, devo studiarla, ma nel libro è trattata dopo... vorrei sapere se ho scritto giusto o se va bene anche come è scritto sul libro.

allora aspetterai domani ... comunque anche a me non torna troppo, il tuo ragionamento di usare i quadrivettori è giusto se no i conti a prima vista non tornano...

anche se il risultato è giusto essendo che alla fine risulta $E=\gamma mc^2$.

C'è abbastanza confusione di notazione ed ora purtroppo non ho molto tempo, comunque quando scrivi

se si svolgono i conti si nota che $(dgamma)/(dt) = gamma^3 * (u*a)/c^2$

hai necessariamente vettori (infatti in $\gamma$ c'è $v^2$, il modulo del vettore velocità), mentre per il resto del ragionamento dovrebbero essere quadrivettori.

comunque sempre provando un'altra via mi è venuto in mente che tu conosci il legame tra $F\cdot u$ e $F_0$, ovvero $F\cdot u= cF_0$ e per definizione $F_0=d/(dt)p_0=d/(dt)m\gamma c$, inoltre $F\cdot u$ è la potenza, quindi l'energia è la sua derivata e i conti tornano.

Lo so che non è il calcolo che fa il tuo libro, però se i conti non tornano tanto vale provare un'altra via ...

no ce l'ho fatta a dimostrarlo:

$ \vec F*\vecu = m(\veca*\vecu + gamma^2 * (\vecu*\veca)/c^2 *\vecu*\vecu) =m(\veca*\vecu + gamma^2 * u^2/c^2 *\veca*\vecu) = m (\veca*\vecu + gamma^2*( 1-1/ gamma^2 ) *\veca*\vecu) = mgamma^2 *\veca*\vecu$

Certo era dura immaginarlo...

Ora sono alle prese con un'altra dimostrazione che non torna per niente, ovvero che il prodotto di due quadrimpulsi $P_1mu * P_2^v = m_1*m_2 gamma (v_r)$ ove $v_r$ è la velocità relativa tra i due corpi... non riesco a dimostrarlo. Pensavo di considerare un qualche riferimento di quiete e sfruttare il fatto che il prodotto tra quadrivettori è invariante di lorentz, ma non escono i conti... qualche suggerimento?

non manca anche la velocità nel prodotto di due quadrimpulsi?...
dimensionalmente quello che hai scritto non ha le dimensioni di un impulso al quadrato... è solo $kg^2$, manca una velocità al quadrato... o sbaglio?... (essendo $p_{\mu}=m\gamma u_{\mu}$...)