Esercizi di topologia

Chiarissimo! Grazie 1000.

9) let $X$ be an ordered set in the order topology. Show that if $X$ is connected then it is a linear continuum.

Devo dimostrare le due proprietà

1) Se $x<y \in X$ allora esiste $z$ tale che $x<z<y$
2) Ogni sottonsieme di $X$ che ammette maggioranti, possiede un estremo superiore.

La prima è facile. Se fra $x$ e $y$ non c'è nessun altro elemento allora $X=(- \infty,y) \cup (x,+ \infty)$ è disconnesso contro le ipotesi. Per la seconda devo dimostrare che se $A \subset X$ ammette maggioranti, esiste il minimo dell'insieme dei maggioranti di $A$ . Ora se $A$ ammette massimo, tutto ok. Altrimenti non lo so. Ho provato a costruire una successione di elementi di $X$ che converge verso l'estremo superiore sfruttando la proprietà 1) ma non viene un granchè bene...

Suggerimento: la proprietà 1) da sola non basta perché altrimenti varrebbe anche per i razionali, bisogna (come sempre) lavorare per assurdo e cercare di sconnettere . Non ho usato successioni.

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Sia $A$ un sottoinsieme non vuoto di $X$ e $M$ l'insieme dei suoi maggioranti, anch'esso non vuoto. Se $M$ non ammette minimo e $X-M$ non ammette massimo, questi due insiemi risultano aperti e quindi sconnettono $X$. Mostriamo dunque che $X-M$ non può ammettere massimo. Se $x$ è un elemento di $X-M$, possiamo prendere $y in A$ tale che $y>x$. Per il punto 1) esiste $z$ tale che $x<z<y$, per cui abbiamo trovato un elemento $z$ di $X-M$ (visto che $z<y in A$) più grande di $x$.

Tutto chiaro. Ancora grazie!

10) Let $W$ be a well ordered set in the order topology. Show that $W xx [0,1)$ (in the dictionary order topology ) is a linear continuum.

Prima proprietà
Dati due punti $m xx x < n xx y \in W xx [0,1)$ distinguamo due casi. Se $m<n$ allora esiste $z$ tale che $x<z<1$ e quindi $m xx x < m xx z < n xx y$. Se $m=n$ allora $x<y$ e quindi esiste $z$ tale che $x<z<y$ pertanto $m xx x < m xx z < m xx y$

Proprietà dell'estremo superiore
Sia $AxxB$ un sottoinsieme di $W xx [0,1)$ che ammetta maggiorante. Poichè $W$ è ben ordinato esiste il minimo dell'insieme dei maggioranti di $A$ in $W$ che indichiamo con $ s up A$. Se $ s up A \notin A$ allora $s up (A xx B)=s upA xx 0$. Se $s upA \in A$ distinguiamo due sottocasi. Se $s up B < 1$ allora $s up (A xx B)=s upA xx s upB$, se invece $s upB=1$ allora (per il buon ordine) esiste $N=min(s upA, + \infty)$ e risulta $s up (A xx B)=N xx 0$

Che ne dite?

Ciao. La prima proprietà va sicuramente bene, nella seconda forse non mi è chiarissimo cio' che devi dimostrare perché non ho mai visto queste cose, ma di sicuro non tutti i sottoinsiemi dello spazio sono della forma $AxxB$!

Umh hai ragione allora facciamo così... consideriamo un sottinsieme $S \subset W xx [0,1)$ e sia $A $ l'insieme delle prime coordinate degli elementi di $S$. Poichè $W$ è ben ordinato esiste il minimo dell'insieme dei maggioranti di $A$ in $W$ che indichiamo con $ s up A$. Se $ s up A \notin A$ allora $s up (S)=s upA xx 0$. Se $s upA \in A$ distinguiamo due sottocasi. Sia ${s upA} xx B$ l'insieme dei punti di $S$ che hanno come prima coordinata $s upA$. Se $s up B < 1$ allora $s up (S)=s upA xx s upB$, se invece $s upB=1$ allora (per il buon ordine) esiste $N=min(s upA, + \infty)$ e risulta $s up (S)=N xx 0$

P.S. devo dimostrare che ogni sottinsieme di $ W xx [0,1) $ che ammette maggiorante ha un estremo superiore.

P.S.S. quali sono le cose che non hai mai visto? il dictionary order? il buon ordine? Se vuoi posso fornire una breve spiegazione.

In realtà nemmeno la topologia dell'ordine ma non c'è problema, le definizioni che non capisco me le cerco (e riguardo a quello che bisognava dimostrare ci avevo preso!). Anzi ti ringrazio visto che sto imparando qualcosa e vedendo questi esercizi che sono interessanti, io di mio sono troppo pigro per mettermici da solo!
Più tardi mi leggo con calma la tua ultima soluzione.

Anzi ti ringrazio visto che sto imparando qualcosa e vedendo questi esercizi che sono interessanti

Prego. Sono io che ringrazio te. Anche io sono abbastanza pigro, però dipende da quello che studio. Per esempio è un bel pò che ho iniziato a leggere un testo di logica ma non riesco a finirlo perchè è troppo tedioso Invece la topologia mi sembra più divertente... e infatti ecco un altro quesito.

11) If $A \subset X$ is path connected, is $\bar A$ necessarily path connected?

In generale credo di no, infatti dovrebbe esserci il famoso esempio del grafico della funzione $sin(1/x)$, però credo di poter dimostrare che se $X$ è metrizzabile allora la risposta è affermativa.


Edit: quanto segue è sbagliato causa una errata applicazione del pasting lemma.
Consideriamo un punto $x_0 \in A$ e un punto di accumulazione $x \in \bar A$. Se $X$ è metrizzabile esiste una successione $x_0,x_1,x_2,...$ di punti di $A$ che tende a $x$. Poichè $A$ è path connected l'idea è quella di unire i percorsi fra $x_n$ e $x_{n+1}$. Esisteno quindi le funzioni continue $f_n: [n/{n+1},{n+1}/{n+2}] \rightarrow \bar A$ tali che $f_n(n/{n+1})=x_n$ e $f_n({n+1}/{n+2})=x_{n+1}$. Notiamo che laddove i domini di queste funzioni si sovrappongono le funzioni coincidono infatti $f_{n-1}(n/{n+1})=x_n=f_n(n/{n+1})$ per ogni $n$ e che l'unione dei domini è $[0,1)$. Consideriamo infine la funzione continua $f_x:{1} \rightarrow \bar A$ tale che $f_x(1)=x$. Siccome gli intervalli $[n/{n+1},{n+1}/{n+2}]$ e ${1}$ sono chiusi, per il "pasting lemma" possiamo incollare le funzioni $f_n$ e la funzione $f_x$ ed ottenere una funzione continua $f:[0,1] \rightarrow \bar A$ tale che $f(0)=f_0(0)=x_0$ e $f(1)=f_x(1)=x$. Pertanto la chiusura di $A$ è path connected.

In realtà credo che non serva neanche la metrizzabilità, è sufficiente che $X$ soddisfi il "first axiom of countability" Come sempre i commenti sono graditi.

Ultima modifica di perplesso il 23/04/2012, 10:57, modificato 1 volta in totale.

Umh hai ragione allora facciamo così... consideriamo un sottinsieme $S \subset W xx [0,1)$ e sia $A $ l'insieme delle prime coordinate degli elementi di $S$. Poichè $W$ è ben ordinato esiste il minimo dell'insieme dei maggioranti di $A$ in $W$ che indichiamo con $ s up A$. Se $ s up A \notin A$ allora $s up (S)=s upA xx 0$. Se $s upA \in A$ distinguiamo due sottocasi. Sia ${s upA} xx B$ l'insieme dei punti di $S$ che hanno come prima coordinata $s upA$. Se $s up B < 1$ allora $s up (S)=s upA xx s upB$, se invece $s upB=1$ allora (per il buon ordine) esiste $N=min(s upA, + \infty)$ e risulta $s up (S)=N xx 0$

Mi sembra vada bene. Mi ero un po' impappinato sulla notazione $min(s up A, + \infty)$, l'ho capita solo pensando a come avrei cercato di risolvere io il problema (si' in teoria mi sa che andrebbe fatto sempre quando si legge una dimostrazione ). Forse usare le parentesi quadre al contrario è meglio anche se sono bruttine .

Riguardo l'ultimo problema: da quando $RR^2$ non è metrizzabile? Il pasting lemma che era stato citato vale solo per un numero finito di chiusi!

Curiosità: stai studiando la matematica da autodidatta?