Cenzin ha scritto:Una volta trovato l'intervallo di convergenza assoluta ...
Veramente, poiché il criterio del rapporto non è dirimente quando:
$\lim_{n rarr +oo}|a_(n+1)|/|a_n|=1$
i valori $[x=-2] vv [x=1]$ devono essere sostituiti prima di determinare l'intervallo di convergenza assoluta, in questo caso, per decidere se gli estremi devono essere inclusi.
Poiché la serie converge assolutamente, quindi, anche semplicemente, se e solo se $[-2ltxlt1]$, è necessario studiare la convergenza semplice per $[xlt=-2 vv xgt=1]$. Tuttavia, prima di affidarsi al criterio di Leibniz, conviene verificare se:
$\lim_{n rarr +oo}a_n=0$
in quanto, nel caso in cui la condizione di cui sopra non sia soddisfatta, la serie non può convergere. Tra l'altro, questa verifica poteva essere fatta all'inizio dello svolgimento, anche se la maggior parte degli esercizi è ideata in modo tale che la condizione sia soddisfatta, per non concludere l'esercizio troppo velocemente.
Nel caso in esame, se $[xlt-2 vv xgt1]$, il seguente limite non esiste:
$\lim_{n rarr +oo}(-1)^n(x^2+x)^n/(2^n(2n-1))=\lim_{n rarr +oo}(-1)^n((x^2+x)/2)^n/(2n-1)$
in quanto $[(x^2+x)/2gt1]$.
Per concludere, è necessario esaminare il caso in cui $[x=-2] vv [x=1]$:
$a_n=(-1)^n1/(2n-1)$
e la serie risulta convergente proprio per il criterio di Leibniz.
Riassumendo:
1. La serie
converge assolutamente, quindi, anche semplicemente, per $[-2ltxlt1]$
2. La serie
converge semplicemente per $[x=-2] vv [x=1]$
3. La serie
non converge per $[xlt-2 vv xgt1]$
P.S.
Il procedimento di cui sopra prescinde dalla conoscenza dei concetti di convergenza totale e di serie di potenze.