Sottogruppo di un gruppo infinito

Il mio libro di Algebra 1 mi propone il seguente esercizio subito dopo aver dimostrato che i laterali di un gruppo sono equipotenti al gruppo stesso:
Sia G un gruppo infinito, e sia H un sottogruppo di G tale che l'insieme G\H (differenza insiemistica) sia finito. Provare che H=G.
Potreste darmi una mano? Riesco a dimostrare solo che H è infinito...

Ultima modifica di Kiretta94 il 10/07/2023, 16:25, modificato 1 volta in totale.

CIa0, benvenut*;

cos'è \(ah\)? Con \(G\setminus H\) indichi la differenza insiemistica?

Si differenza insiemistica. ah era un errore di battitura, grazie mille ho corretto

Non se possa essere d'aiuto, ma \(G\setminus H\) dev'essere un insieme finito di ordine pari oppure vuoto!

Non saprei, però per curiosità come mai G\H deve avere ordine pari oppure essere vuoto?
Per quanto riguarda l'esercizio, mi viene in mente che G = <G\H> U H
E dato che un gruppo non si può scrivere come unione di due sottogruppi propri G dovrà essere uguale ad uno dei due, ma non riesco a trovare un assurdo nel supporre G = <G\H>.

$G$ si decompone come unione disgiunta dei laterali di $H$ in $G$, e ciascuno di essi ha cardinalità $H$. Se $G\setminus H$ è finito, e $G$ è infinito, è chiaro che non può essere $H\ne G$, perchè altrimenti ci sarebbero almeno due laterali disgiunti $H$ e $gH$, e gli elementi di $gH$ sono infiniti e non stanno in $H$.

Grazie mille hydro, ora mi é chiaro!