Integrale

Non riesco.

Non riesco.

Mi ripeto:

Puoi mostrarmi come risolverlo?

Puoi mostrarmi che cosa hai fatto finora?
Hai verificato se sono soddisfatte le ipotesi?

Le ipotesi del teorema del Dini sono:
1) f(x,y,z) continua in R, e tale che in un punto P (in questo caso (0,0,0)) f(P)=0;
2) esiste la derivata parziale continua in R e tale da essere diversa da 0 nel punto P (rispetto almeno una variabile).

Ho verificato che f(0,0,0)=0;
ho calcolato le derivate parziali rispetto x, y e z, e ho ottenuto che le derivate rispetto la y e la z sono nulle in (0,0,0), mentre quella rispetto la x, in (0,0,0), è diversa da 0 (in particolare è 1).
Manca da verificare la continuità di f e fx (derivata rispetto la x). La mia difficoltà sta nel verificare la continuità di quell'integrale.
Inoltre pensavo di dover determinare la funzione implicita, ma effettivamente l'esercizio non lo richiede (e penso che non sia possibile farlo).
Per determinare il piano tangente in (0,0,0) ho usato la formula:
w = f(0,0,0)+fx(0,0,0)x+fy(0,0,0)y+fz(0,0,0)z
e ho trovato w = x.

Tutto giusto, complimenti.

La derivata $f_x$ è continua perché è composta da funzioni di classe $C^oo$: infatti, derivando con il teorema di derivazione della funzione composta ed il TFCI ottieni:

$f_x(x,y,z) = 2x - e^(-x^2) sin x^2 + 3x^2 e^(-x^6) sin x^4 - x int_(x^3)^x e^(-t^2) cos (xt) "d" t + 1$

e si vede che $f_x(0,0,0) = 1$ e che $f_x(x,y,z)$ ha derivate di ogni ordine continue in $RR^3$ rispetto a tutte e tre le variabili.

E no, risolvere l'integrale non ti serve a nulla.

Per quanto riguarda l'equazione del piano tangente al grafico $x=phi(y,z)$ della funzione implicitamente definita dall'equazione, questo è dato da:

$f_x(0,0,0) x + f_y(0,0,0) y + f_z(0,0,0) z = 0 \ <=>\ x = 0$.

Ricorda che il grafico di $phi$ ed il suo piano tangente in $(0,0,0)$ vivono in $RR^3$; quindi l'equazione del piano non può contenere quattro variabili.

Va bene, grazie