Trattandosi di un trapezio, deve essere: \[
\frac{\overline{AA'}+\overline{CC'}}{2}\,\overline{A'C'}=\frac{3}{4}a^2
\] ossia: \[
\frac{a\sin(x)+a\cos(x)}{2}\left(a\cos(x)+a\sin(x)\right)=\frac{3}{4}a^2
\] da cui: \[
a^2\left(\sin(x)\frac{1}{\sqrt{2}}+\cos(x)\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2=\frac{3}{4}a^2
\] ossia: \[
a^2\left(\sin(x)\cos\left(\frac{\pi}{4}\right)+\cos(x)\sin\left(\frac{\pi}{4}\right)\right)^2=\frac{3}{4}a^2
\] da cui: \[
a^2\sin^2\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=\frac{3}{4}a^2\,.
\] Essendo \(a>0\) e \(0<x<\frac{\pi}{2}\), deve necessariamente essere: \[
\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}
\quad\Leftrightarrow\quad
x+\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{3}\quad\vee\quad x+\frac{\pi}{4}=\pi-\frac{\pi}{3}
\] ossia le due soluzioni riportate sul libro: \[
\boxed{x=\frac{\pi}{12}\quad\vee\quad x=\frac{5\pi}{12}}
\] Vedi un po' se torna.