Esercizi e chiarimenti serie numeriche

Vi vorrei chiedere se, per favore, potreste aiutarmi con questa serie?

$ \sum_{n=1}^\infty\ (ln(n))/n^2 $

Anche questa sono sicuro che sia già stata risolta in qualche post, ma siccome non ho voglia di andare a cercarlo te la risolvo di nuovo...

Facendo uso della disuguaglianza $ln x < x $, che vale $\forall x > 0 $, si pone $x := n^{\alpha} $, ove $\alpha $ è un qualsiasi numero positivo, sicché si ha:

$ln n^{\alpha} < n^{\alpha}$

$\alpha ln n < n^{\alpha}$

$ ln n < n^{\alpha}/(\alpha) $

Quindi si ha:

$ \sum_{n=1}^{+ \infty} (ln(n))/n^2 < 1/\alpha \sum_{n=1}^{+ \infty} 1/n^{2 - \alpha}$

Se scegliamo ad esempio il comodo valore $\alpha = 1/2 $, l'ultima scritta sulla destra è la serie armonica generalizzata con $p := 2 - \alpha = 2 - 1/2 = 3/2 > 1 $, notoriamente convergente.

Grazie!!!

Questa serie penso che non la dimenticherò più ormai.
Mi sono imbattuto in una serie che sembra, all'apparenza, la fotocopia di quella del primo post:

$sum_{n=1}^\infty\ (root(3)(n^3 + n)-n)$

Ho provato quindi a risolverla come avete spiegato nei post precedenti. Attraverso la razionalizzazione inversa, ottengo

$lim_{n \to \infty} n/((root(3)((n^3 + n)^2) +n(root(3)(n^3 + n)+n^2)$

Ora quel $n$ a numeratore, non mi piace. Se anche dividessi numeratore e denominatore per $x$, otterei un 1 al numeratore ma a quel punto non potrei più dimostrare con il criterio del confronto che la serie è
$ < sum_{n=1}^\infty 1/n^2 $

Questo perchè non avrei più nessuna somma con $n^2$
Dopo vani tentativi ho provato a fare qualche ricerca ma niente che portasse a risolvere la serie con i criteri classici (confronto, radice e rapporto). Avete qualche idea?

Mi sono imbattuto in una serie che sembra, all'apparenza, la fotocopia di quella del primo post:

$ \sum_{n=1}^\infty (\root(3)(n^3 + n) - n) $

All'apparenza, ma in realtà qui devi usare un'altro prodotto notevole per de-razionalizzarla, osservando che si ha:

$ \sum_{n=1}^{+\infty} (\root(3)(n^3 + n) - n) = \sum_{n=1}^{+\infty} (\root(3)(n^3 + n) - \root(3)(n^3)) $

Quindi devi usare $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2) \implies a - b = \frac{a^3 - b^3}{a^2 + ab + b^2} $ ove nel caso in esame $a := \root(3)(n^3 + n) $ e $b := root(3)(n^3) $

Anche questa serie sono sicuro che sia già stata risolta qui sul forum in qualche thread, ma siccome non ho voglia di cercarlo ti indico la buona strada...

Sempre grazie per il tuo aiuto.
Proverò a studiarla seguendo il tuo consiglio.

Provato a seguire il tuo consiglio e...

$ \sum_{n=1}^{+\infty} (\root(3)(n^3 + n) - n) = \sum_{n=1}^{+\infty} (\root(3)(n^3 + n) - \root(3)(n^3)) $

Applicando il prodotto notevole $ a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2) \implies a - b = \frac{a^3 - b^3}{a^2 + ab + b^2} $


$ \sum_{n=1}^{+\infty} (n^3+n-n^3)/((root(3)(n^3 + n))^2 + (root(3)(n^3 + n))(\root(3)(n^3))+ (root(3)(n^3))^2 )$ $= \sum_{n=1}^{+\infty} n/((root(3)(n^3 + n))^2 +nroot(3)(n^3 + n)+n^2$

Ora, mi ritrovo sempre con $n$ al numeratore, se divido numeratore e denominatore proprio per $n$ riesco ad ottenere $1$ al numeratore ma in questo modo elimino anche $n^2$ al denominatore che mi avrebbe permesso di ricollegarmi all'esercizio del primo post e applicare il teorema del confronto.

p.s. Ho provato a cercare con parole chiave sul forum e mi sono spulciato diverse decine di pagine di risultati, ma purtroppo, la serie che si "avvicina" è questa, ma essendoci una costante al numeratore lo svolgimento è simile all'esercizio in prima pagina più che a questo.

Infatti la serie proposta diverge positivamente, non vedo quale sia il problema...
C'è anche un modo più veloce di verificarlo, scrivendola così:

$\sum_{n=1}^{+\infty} (\root(3)(n^3 + n) - n) = \sum_{n=1}^{+\infty} (n \root(3)(1 + 1/n^2) - n) = \sum_{n=1}^{+\infty} (\root(3)(1 + 1/n^2) - 1)/(1/n) = $
$ = \sum_{n=1}^{+\infty} (\root(3)(1 + 1/n^2) - 1)/(1/n^2) \cdot 1/n $ \( \displaystyle \sim \) $1/3 \sum_{n=1}^{+\infty} 1/n $

ove si è fatto uso del limite notevole $\lim_{x \to 0} \frac{(1 + x)^a - 1}{x} = a \implies $ \( \displaystyle (1 + x)^a - 1 \sim ax \) con $x := 1/n^2 $ e $a = 1/3 $

Adesso mi è chiaro!! Grazie! In questo modo si ottiene la serie armonica generalizzata con esponente $<=1$
Purtroppo non riesco ancora a "vedere" i limiti notevoli...

Purtroppo non riesco ancora a "vedere" i limiti notevoli...

Eh riuscire a "vedere" i limiti notevoli è una dote che si acquisisce con l'esperienza: adesso a me riesce abbastanza bene, ma per arrivarci di serie ne ho dovute risolvere parecchie...