Carattere della serie di sin (n)

Salve,

mi chiedevo in che modo si può dimostrare che la serie sin(n) sia una serie irregolare.

Grazie in anticipo.

Tenendo conto del fatto che \(\sin n = \text{Im}(e^{in})\), è possibile calcolare esplicitamente le somme parziali \(n\)-esime.

Tenendo conto del fatto che \(\sin n = \text{Im}(e^{in})\), è possibile calcolare esplicitamente le somme parziali \(n\)-esime.

Ovvero? Riusciresti a spiegarmi bene il procedimento e l'effettiva dimostrazione in maniera rigorosa?

Grazie ancora

Le somme parziali di \(e^{ik}\) si calcolano facilmente (è una sommatoria geometrica):
\[
s_n := \sum_{k=0}^n e^{ik} = \frac{1-e^{i(n+1)}}{1-e^i}\,.
\]
Le somme parziali per \(\sin k\) sono la parte immaginaria di \(s_n\).

Le somme parziali di \(e^{ik}\) si calcolano facilmente (è una sommatoria geometrica):
\[
s_n := \sum_{k=0}^n e^{ik} = \frac{1-e^{i(n+1)}}{1-e^i}\,.
\]
Le somme parziali per \(\sin k\) sono la parte immaginaria di \(s_n\).

ok, e a questo punto, avendo in mano la somma parziale, come faccio a dimostrare che la serie è irregolare?

Basta esplicitare la parte immaginaria di $s_n$ come ha detto Rigel, e poi far vedere che il limite di questa somma parziale non esiste.