Superficie sferica e sue parti

In questo appunto di geometria solida diamo la definizione della sfera come solido di rotazione, degli elementi che la caratterizzano nonché le sue proprietà. Esaminiamo le posizioni reciproche tra la sfera e la retta, e quelle con un piano. Passiamo poi alla formula per il calcolo dell’area della superficie sferica e delle sue parti, individuate dalle intersezioni con particolari piani.

Sfera un solido di rotazione

Consideriamo una retta r ed un semipiano che abbia origine nella retta r; sia l una linea qualsiasi sul piano , facendo ruotare il piano attorno alla retta r di un angolo giro, la linea l genera una superficie che si chiama superficie di rotazione, la linea l viene detta generatrice e la retta r è l'asse di rotazione.
Consideriamo ora sullo stesso piano una superficie S; la rotazione del piano attorno alla retta sempre di un angolo giro, genera un solido detto solido di rotazione.

La sfera insieme al cono e al cilindro rientra nel gruppo dei solidi detti di rotazione perché sono generati dalla rotazione di una figura piana intorno ad un loro lato. Il cono è generato dalla rotazione di un triangolo rettangolo attorno ad un suo cateto; il cilindro è generato dalla rotazione di un rettangolo intorno ad uno dei suoi lati.

Elementi e proprietà della sfera

La superficie sferica, figura piana, è la figura generata dalla rotazione completa di una semicirconferenza attorno alla retta del diametro. La sfera è il solido generato dalla stessa rotazione però di un semicerchio.
Il centro della semicirconferenza è anche il centro della sfera, il raggio è la distanza del centro da uno qualunque dei punti della superficie sferica; il diametro della sfera è il segmento che passa per il centro e che ha per estremi due punti della sfera.
Elenchiamo ora le proprietà della sfera:

• il centro di una sfera è centro di simmetria;
• ogni piano che passa per il centro è detto piano diametrale ed è un piano di simmetria per la sfera;
• ogni piano diametrale individua sulla superficie sferica una circonferenza che ha lo stesso centro e lo stesso raggio della superficie sferica stessa, detta circonferenza massima;
• la sezione circolare del piano diametrale è un cerchio detto cerchio massimo;
• ogni piano diametrale divide la sfera in due parti congruenti dette semisfere o emisferi.
• qualsiasi altro piano che non sia diametrale individua sempre delle circonferenze aventi però raggi minori di quello diametrale.

Posizioni reciproche tra retta, piano e sfera

Una retta e una superficie sferica possono avere in comune due punti, un solo punto o nessun punto a seconda che distanza d della retta dal centro della superficie sia minore, uguale o maggiore del raggio.

Un piano, analogamente ad una retta, rispetto ad una superficie sferica può essere secante tangente oppure esterno.

• Sei il piano è secante, l'intersezione con la sfera dà origine ad una circonferenza e in questo caso la distanza del piano dal centro della sfera è minore del raggio.
• Se il piano è tangente rispetto alla sfera allora la sua distanza dal centro è uguale al raggio e l’intersezione con la sfera avviene in un unico punto che è il punto di tangenza.
• Se il piano è esterno rispetto alla sfera allora non vi è alcuna intersezione e in questo caso la distanza del piano dal centro della sfera risulta maggiore del raggio

Parti della sfera e della superficie sferica

Tagliando una sfera con due piani paralleli, non diametrali, si ottengono due parti limitate da un piano dette segmenti sferici a una base, e una parte compresa tra i due piani denominata segmento sferico a due basi.

La superficie di un segmento sferico ad una base è detta calotta sferica, mentre la superficie del segmento sferico a due basi è detta zona sferica.

L’altezza della zona sferica è la distanza tra i piani paralleli secanti la sfera, rappresenta lo spessore del segmento sferico a due basi. Si tratta di un solido analogo al tronco di cono.
Come nella circonferenza e nel cerchio si hanno il settore circolare e l’arco di circonferenza è possibile evidenziare in una sfera uno spicchio sferico e un fuso sferico. Queste due parti di sfera possono essere pensate rispettivamente come uno spicchio di arancia e la corrispondente porzione di buccia.

Lo spicchio sferico è la parte di sfera compresa tra due semipiani che hanno come origine la retta di un diametro.
Il fuso sferico è la parte di superficie a sferica che limita lo spicchio (la buccia!!).

Il settore sferico è la parte di sfera generata dalla rotazione di un settore circolare attorno a un diametro che appartiene al piano del settore ma non lo attraversa.

Area della superficie sferica

Le superfici del cono e del cilindro si possono sviluppare su di un piano, questa operazione rende più immediata la determinazione della formula per il calcolo delle aree.
La superficie sferica a differenza di quella del cilindro e del cono non si può sviluppare su un piano.
Archimede scopri l'equivalenza tra la superficie di una sfera e la superficie laterale di un cilindro equilatero ad essa circoscritto. In un cilindro equilatero l’altezza h è congruente al diametro d della circonferenza di base dunque al diametro della sfera inscritta.

Se la sfera ha raggio r vale la seguente relazione:

Sappiamo che l'area della superficie laterale di un cilindro è data dal prodotto del perimetro di base per l'altezza del cilindro:

Per l’equivalenza si ha :

L’area della sfera si ottiene moltiplicando per quattro l’area del suo cerchio massimo.
Noto il valore dell'area si può determinare il raggio con la seguente formula inversa, estraendo la radice quadrata del rapporto tra l'area e il fattore

:

Area delle parti della superficie di una sfera

L’area di una calotta, o di una zona sferica, può essere pensata come quella della superficie laterale di un cilindro che ha raggio congruente a quello della sfera e altezza congruente a quella della calotta o della zona.
La formula valida per entrambe le parti è:

La superficie del fuso sferico dipende dall'arco equatoriale, definito come l'arco di circonferenza massima che giace sul fuso.

La formula per calcolare l’area del fuso è la seguente:

dove

, è la misura dell’ampiezza del diedro espressa in radianti

Per ulteriori approfondimenti sulla sfera vedi anche qui