Meridiane solari un'interpretazione geometrica

1 – Meridiane Solari: un’interpretazione geometrica

1.3 Tipi di meridiane

I principali tipi di meridiane solari che tratteremo nel seguito sono:

• orizzontali

• verticali

Approfondiremo inoltre la differenza tra stilo perpendicolare (al piano su cui viene

proiettata l’ombra) e stilo parallelo all’asse terrestre.

Nella figura 1.1 mostriamo come siano duali le situazioni di meridiana orizzontale

e meridiana verticale entrambe con stilo parallelo all’asse terrestre: si osservino

massimi e minimi delle ombre ai solstizi; per le meridiane con stilo perpendicolare

vale lo stesso ragionamento, cambia solo la direzione dell’ombra.

piano P

N

estate

equin

cerchio

orario inverno

estate stilo piano

orizzontale

equin ombra

cerchio stilo

orario ombra

inverno piano

verticale

Figura 1.1.

3

1 – Meridiane Solari: un’interpretazione geometrica

1.3.1 L’ombra proiettata dallo stilo e le diverse numerazioni

orarie

In questa sezione cercheremo di dimostrare che, fissata una specifica ora del giorno

(ad esempio le 10 del mattino), il luogo dei punti che sulla maridiana indica quell’ora

è un segmento, ovvero una porzione di retta.

Consideriamo per primo il caso di una meridiana orizzontale con stilo (in verde

nella figura) parallelo all’asse terrestre: una determinata ora durante l’anno, costi-

tuisce un segmento poiché la direzione dell’ombra (giorno per giorno) è la stessa,

varia solo la lunghezza dell’ombra, in quanto la posizione del Sole sull’orizzonte (fis-

3

§1.5

sata l’ora) varia quotidianamente, vedi cap. . Supponiamo che siano le 10 del

Z P

N

M estate W

M α

equin lat

α C

M o estate

inver .

α o .

S N

α C

o equinozio

.

C inverno

E

Figura 1.2.

mattino, quindi la distanza in gradi dal riferimento (il mezzogiorno) corrisponde a

o o

·

2 15 = 30 , abbiamo cosı̀ fissato il valore di α . Non dimentichiamo che l’asse

o

3 vedi Il Sole: un amico caloroso 4

1 – Meridiane Solari: un’interpretazione geometrica

che contiene tutti i centri delle circonferenze, che individuano la traiettoria dei vari

archi solari diurni, è parallelo all’asse terrestre ed individua un diametro nella Sfera

Celeste.

Come possiamo notare, fissare l’angolo α (vedi fig. 1.2), di giorno in giorno,

o

corrisponde a sezionare la Sfera Celeste individuandone uno spicchio.

La posizione del Sole alla stessa ora, nel corso dell’anno, traccia un arco sulla

Sfera Celeste che prende il nome di cerchio orario.

Se lo stilo (in verde nella figura) è parallelo all’asse terrestre ed è elemento (= è

contenuto all’interno) della retta che è orientata verso il Polo Nord (ovvero parallela

all’asse terrestre), allora il cerchio orario di una qualsiasi ora della giornata e la

suddetta retta sono elementi di un piano (elemento a sua volta di un fascio proprio

di piani avente come generatrice proprio tale retta) vedi fig. 1.3.

P

piano N

estate

equin

cerchio

orario inverno stilo ombra

Figura 1.3.

Questo piano conterrà la retta che individua la direzione dei raggi del Sole,

inoltre, contenendo anche tutto lo stilo (non solo la punta), conterrà anche l’ombra

(in nero nella figura) dello stilo, indipendentemente dalla lunghezza dell’ombra che è

funzione della posizione del Sole nel cerchio orario (= periodo dell’anno). Le ombre

convergono nel punto in cui viene piantato lo gnomone nel suolo, quindi, da un punto

di vista pratico, se vogliamo individuare la direzione (= retta, abbiamo bisogno di

5

1 – Meridiane Solari: un’interpretazione geometrica

due punti) dell’ombra per ogni ora della giornata abbiamo bisogno di conoscere i

valori di altezza e azimut (ora per ora) di una singola giornata. Ovviamente la

lunghezza dell’ombra dipende dalla posizione del Sole nel cerchio orario, cioè dal

periodo dell’anno.

Per essere sicuri di non dimenticare le prime ore del mattino (visibili solo in

estate), conviene sfruttare le coordinate solari del dı̀ più lungo: il Solstizio Estivo.

Volendo conoscere per ogni ora gli estremi dell’ombra, bisogna ricavare la direzione

con la tecnica della retta per due punti, dove il secondo punto (ovviamente uno

per ogni ora) si riferisce alle ombre proiettate al Solstizio Invernale (ovviamente

troveremo gli estremi delle sole ore invernali).

Analogamente iterando questa tecnica possiamo evidenziare le curve che delimi-

tano la lunghezza dell’ombra mese per mese (ecco come individuare le costellazioni in

cui transita il Sole nell’anno). Possiamo concludere che con questo tipo di meridiane

sia più semplice ottenere precisione poiché anche sbagliando la lunghezza dello stilo

(ma non l’inclinazione) l’ora segnata rimane corretta, non risulta possibile invece

leggere il mese (che dipende dalla lunghezza dell’ombra).

Z P

N

M estate W

M α

equin lat

α C

M o estate

inver .

α o .

S N

α C

o equinozio

.

C inverno

E

Figura 1.4.

6

1 – Meridiane Solari: un’interpretazione geometrica

Queste ultime considerazioni sono valide solo per meridiane con gnomone paral-

lelo all’asse terrestre, siccome in quelle con stilo perpendicolare lo gnomone non è

contenuto nel piano individuato da un cerchio orario e dal diametro dalla Sfera Ce-

leste che punta al Polo Nord, solo la punta dello gnomone è elemento di tale piano.

Quindi la direzione dell’ombra alla stessa ora cambia di giorno in giorno (fig. 1.4) e

le ombre di un cerchio orario (= della stessa ora durante l’anno) non convergono nel

punto dove si pianta lo gnomone, è quindi necessario usare la tecnica della retta per

due punti e considerare le coordinate solari di due giorni dell’anno; rimangono invece

valide le considerazioni che l’ombra di un cerchio orario sia un segmento (quindi un

elemento di una retta) si vedano le figure 1.5, 1.6.

Un modo per riconoscere una meridiana (orizzontale o verticale) con gnomone

parallelo da una con gnomone perpendicolare è quello di osservare se le linee delle

ore convergono nel punto in cui viene fissato lo gnomone (parallelo) oppure no (per-

pendicolare).

Passiamo alla descrizione delle diverse numerazioni delle ore ( = segmenti) che

possiamo trovare sulle meriadiane solari.

Le meridiane sono orologi che indicano l’ora usando come lancette l’ombra di

una sbarretta di ferro (stilo, o gnomone). Informano sulla data e sui segni zodiacali

con la lunghezza dell’ombra, sulle ore che mancano al tramonto del Sole, sulle ore

trascorse dal sorgere del Sole o dalla mezzanotte con l’ombra (direzione ed estre-

mità) dello gnomone:

le meridiane ad ore babilonesi , iniziano il computo delle ore dal sorgere del

Sole. Se l’ombra segna il numero 5, significa che il Sole è sorto da 5 ore, vedi fig.1.5.

Figura 1.5.

7

1 – Meridiane Solari: un’interpretazione geometrica

le meridiane ad ore italiche, hanno come riferimento il tramonto del Sole, che

avviene all’ora ventiquattresima. Ad esempio se l’ombra segna le 18, significa che

−

mancano 6 ore al tramonto ( 24 18 = 6 ) il quale rappresenta la fine di un giorno

e l’inizio del seguente, vedi figura 1.6.

Figura 1.6.

le meridiane ad ore francesi o astronomiche, hanno come riferimento la

mezzanotte. Ad esempio se l’ombra segna le 10, significa che la mezzanotte è passata

da 10 ore, si tratta del sistema orario attuale dei nostri orologi da polso, vedi figura

1.6. Figura 1.7.

8

1 – Meridiane Solari: un’interpretazione geometrica

4

Ecco una meridiana reale che segna le ore in tutte e tre le convenzioni appena

descritte, fig. 1.8 Figura 1.8.

4 castello Chiaves-Marchesi a Monale (Asti) 9

1 – Meridiane Solari: un’interpretazione geometrica

1.3.2 Meridiane Orizzontali con gnomone parallelo all’asse

terrestre 5

Ecco un esempio di questa tipologia di meridiane :

Figura 1.9.

Con riferimento alla figura 1.10 supponiamo di essere in una generica ora del mattino

di un giorno d’estate e cerchiamo di ricavare la direzione (DÂH) e la lunghezza (AD)

dell’ombra:

noti valori di altezza (AL) e azimut (Az) del Sole in quello specifico giorno dell’anno

6

§1.5 §1.6

ora per ora (nei capitoli e li abbiamo trovati minuto per minuto)

• K ÂN = S ÂK = Az in quanto opposti al vertice A

2 1

• DB̂H = K ÂN = Az essendo corrispondenti poiché DB parallelo per costru-

2

zione a K K e tagliati dalla trasversale SN

1 2

5 la fotografia è proprietà di MERIDIANE: le tecniche ed. la casa verde

6 vedi Il Sole: un amico caloroso 10

1 – Meridiane Solari: un’interpretazione geometrica

• C D̂B = AL non variando in pratica la latitudine tra A e D

• · ·

AB = l cos(α ) e CB = l sin(α ) AP è inclinato di α

lat lat N lat

CB

• BD = tg(AL)

q 2 2 o

• − · −

AD = AB + BD 2 cos(180 Az) per il teorema di Carnot

AD BD

• = per il teorema di Eulero

o −

sin(180 Az) sin(DÂB) BD

• ·

DÂH = DÂB = asin sin(Az) AD

• da un punto di vista pratico è più comodo ricavare AD come ipotenusa di

· ·

DAH essendo AH = AD cos(DÂH) e DH = AD sin(DÂH)

Z P

N

M .

e W

α

r lat

α o K

C

r 2

. . e

C D Az

l

R AL

.

S N

Az

AL B

A H

Az

K

1 E

Figura 1.10.

11

1 – Meridiane Solari: un’interpretazione geometrica

1.3.3 Meridiane Orizzontali con gnomone perpendicolare a

terra

Osservando la figura 1.11, notiamo subito un legame tra questa tipologia di meri-

diane e quelle orizzontali con gnomone parallelo di figura 1.10.

Z P

N

M .

e W

α

r lat

α o K

C

r 2

. . e

C D Az

l

R AL

.

S N

Az

AL B

A H

Az

K

1 E

Figura 1.11.

Qui però l’ombra è lunga BD e l’angolo è DB̂H ( = Az ), lo gnomone è lungo

CB. CB

• BD = tg(AL)

• da un punto di vista pratico è più comodo ricavare BD come ipotenusa di

· ·

DBH essendo BH = BD cos(Az) e DH = BD sin(Az)

12

1 – Meridiane Solari: un’interpretazione geometrica

1.3.4 Meridiane Verticali con gnomone parallelo all’asse ter-

restre 7

Ecco un esempio di questo tipo di meridiane :

Figura 1.12.

Questo caso può essere schematizzato come in figura 1.13, notiamo lo gnomone (in

verde) parallello alla retta per P che è parallela all’asse terrestre.

N

7 Cavalese (Trento), Palazzo Magnifica Comunità

13

1 – Meridiane Solari: un’interpretazione geometrica

P

Z N

α lat

N

muro

verticale

ombra stilo

W E

AL

Orizzonte

locale Az

S

Figura 1.13.

Con riferimento alla figura 1.14, per ricavare la direzione e la lunghezza dell’om-

bra (BD) individuiamo il triangolo rettangolo DBH, di cui BD rappresenta l’ipo-

tenusa. Siamo interessati ai cateti DH e BH:

nel triangolo BCE, giacente su un piano perpendicolare sia al muro che a terra

• BC è lo gnomone parallelo all’asse terrestre

o o

• −

B ÊC = 90 B ĈE = α E B̂C = 90 α = α

lat lat lat

• ·

BE = BC sin(α )

lat

• ·

CE = BC cos(α )

lat 14

1 – Meridiane Solari: un’interpretazione geometrica

α P

N

lat

muro B

verticale N

E direzione

. .

A raggi

C AL

. H

D

W E

O Az

S

Figura 1.14.

nel triangolo ECA, giacente su un piano perpendicolare al muro e parallelo a

terra o o

• −

E ÂC = Az C ÊA = 90 E ĈA = 90 Az = Az

• · · ·

EA = CE tg(E ĈA) = BC cos(α ) tg(Az)

lat

·

CE BC cos(α )

lat

• CA = = cos(Az)

cos(E ĈA)

nel triangolo DAC, giacente su un piano perpendicolare a terra e inclinato rispetto

alla direzione EW di una angolo pari ad Az

o o

• −

C ÂD = 90 AD̂C = 90 AL = AL DĈA = AL

·

BC cos(α )

lat

• · ·

AD = CA tg(DĈA) = tg(AL)

cos(Az)

• EH = AD

Quindi i cateti DH e BH del triangolo DBH sono:

· ·

DH = EA = BC cos(α ) tg(Az)

lat !

cos(α )

lat ·

BH = BE + EH = BC sin(α ) + tg(AL)

lat cos(Az)

15

1 – Meridiane Solari: un’interpretazione geometrica

1.3.5 Meridiane Verticali con gnomone perpendicolare al

muro 8

Un esempio di realizzazione di questo tipo di meridiane

Figura 1.15.

Uno schema rappresentativo si può osservare in figura 1.16. Da notare lo gnomone

(in verde) perpendicolare al muro, parallelo alla direzione N S.

8 Cavalese (Trento) Chiostro del Convento dei Francescani

16

1 – Meridiane Solari: un’interpretazione geometrica

P

Z N

α lat

N

muro

verticale

ombra stilo

W E

AL

Orizzonte

locale Az

S

Figura 1.16.

α P

N

lat

muro B

verticale N

E direzione

. .

A raggi

C AL

. H

D

W E

O Az

S

Figura 1.17.

17

1 – Meridiane Solari: un’interpretazione geometrica

Dal grafico di figura 1.17 notiamo una certa similitudine con il caso precedente

(fig 1.14):

• EC = lunghezza gnomone

• · ·

DH = EA = EC tg(E ĈA) = EC tg(Az)

• E ĈA = Az

EC

• CA = cos(Az) EC ·

• · tg(AL)

EH = AD = CA tg(AL) = cos(Az)