Nel porre l'attenzione ai primi strumenti matematici (la riga e il compasso), ci imbattiamo in alcune "curiosità" che vogliamo mettere a fuoco.
Come vediamo, nella figura 1 sono rappresentati 4 oggetti: una riga, un oggetto rotondo, un rettangolo con un grosso foro nel centro e un compasso. Viene spontaneo associare tra loro il compasso, l'oggetto rotondo e il rettangolo forato, lasciando da sola la riga, l'unica che non permette di disegnare circonferenze. Se invece riflettiamo un po' ci accorgiamo che l'unico strumento che deve stare isolato è il compasso dato che è l'unico che " non contiene in sé " l'oggetto da rappresentare.
In altre parole: con la riga si può disegnare una retta perché " è già immagine di una retta "; con l'oggetto rotondo e col rettangolo forato possiamo disegnare una circonferenza perché " sono già immagini di circonferenze ".
Siamo di fronte quindi ad una sorta di circolo vizioso logico: per tracciare una retta bisogna già averne una (la riga) a disposizione! Per tracciare una circonferenza bisogna già averne una a disposizione (l'oggetto rotondo o il rettangolo forato)!
Il compasso, lo ribadiamo, " non contiene in sé " l'oggetto da rappresentare (la circonferenza).
La riga e il compasso sono quindi le prime macchine matematiche che prendiamo in considerazione.
DAL COMPASSO AL COMPASSO PERFETTO
Normalmente si pensa di usare un compasso con l'asta fissa verticale (perpendicolare cioè al piano del disegno). Vediamo invece come stanno le cose con una simulazione realizzata con CABRI.
Le animazioni ci permettono di ricostruire un compasso virtuale e di farlo funzionare come se fosse reale.
Come vediamo (animazione di sinistra), l'asta fissa non è verticale ma forma insieme a quella scrivente un triangolo isoscele. Il perno che viene retto durante la costruzione della circonferenza non ruota su se stesso ma compie anch'esso una circonferenza. E' questa disposizione che ci permette di disegnare (entro certi limiti) circonferenze di raggio "qualsiasi". Se invece l'asta fissa fosse perfettamente perpendicolare al piano del disegno, potremmo disegnare solo una determinata circonferenza. Per variare il raggio occorrerebbe che la punta scrivente si potesse allungare o accorciare, come vediamo nella simulazione di destra.
Su questo principio, sul fatto cioè di poter disporre di un compasso che abbia la punta scrivente allungabile, si basa il Compasso perfetto, così chiamato perché con esso è possibile disegnare, oltre alle circonferenze, anche ellissi, parabole e iperboli. Tale strumento ha una probabile origine araba (X-XII secolo). Nel periodo rinascimentale ne furono costruiti diversi esempi, naturalmente con varianti tecniche e strutturali.
Seguiamo la simulazione.
GUIDA RETTILINEA
L'interesse del problema della costruzione di una "guida rettilinea", una macchina cioè che permetta di disegnare un segmento di retta senza usare una riga, non è solo teorico poiché in molte macchine si vuole che un dato punto si muova in direzione rettilinea con il minimo attrito possibile. Uno dei problemi che ha impegnato gli ingegneri alla fine del 700 e in parte dell' 800 è stato quello di trovare un sistema utile per guidare l'asta del pistone di una macchina a vapore in un moto rettilineo alternato. Senza un tale meccanismo, la biella, che connette l'asta del pistone con la ruota che raccoglie il movimento, spingerebbe tale asta fuori dalla verticale, danneggiando rapidamente la boccola S (figura 2).D'altra parte è necessario che tale congegno non abbia parti che strisciano, per evitare forti attriti e un immediato logoramento del materiale.
(Fig. 2)
Nel 1784 James Watt, l'inventore della macchina a vapore, ottenne una soluzione pratica del problema.
MECCANISMO DI WATT (a)
Egli usò tre aste incernierate, due delle quali, DA e BC, di eguale lunghezza e una AB molto più corta.
Se D e C sono punti fissati (ad altezze opportune diverse fra loro) allora, facendo ruotare l'asta AD di un piccolo angolo, il punto medio P descrive per un tratto considerevole un segmento rettilineo verticale.
MECCANISMO DI WATT (b)
Però, se la rotazione dell'asta AD è maggiore, il movimento del sistema articolato fa descrivere al punto P una figura con i terminali curvilinei (figura 4). Nonostante queste limitazioni, il meccanismo di Watt, grazie alla sua semplicità, è stato ampiamente usato (e continua a esserlo) per risolvere il problema del moto rettilineo senza parti striscianti.
L'invenzione di questo meccanismo è stato certamente un passo determinante per lo sviluppo della tecnologia meccanica dell'inizio dell'800, legata al perfezionamento e allo studio delle possibilità applicative della macchina a vapore: si dice che Watt fosse molto più orgoglioso di questa sua scoperta che non della invenzione stessa del motore a vapore.
La macchina che realizza "veramente" il moto rettilineo è conseguenza di una trasformazione dei punti del piano nota col nome di "inversione circolare". Spieghiamo, prima di tutto, il significato di tale trasformazione.
Dato un punto O e un numero reale k non nullo, due punti P e P' si corrispondono in una inversione circolare se:
…¢ O, P e P' sono allineati;
Si può utilizzare allora il teorema di Talete e fare la costruzione indicata di seguito.
INVERSIONE CIRCOLARE: definizione
Preso un segmento di lunghezza k ed uno di lunghezza unitaria, si costruisce una semiretta t di origine O e su di essa si prende un punto P di cui vogliamo determinare il corrispondente P' nell'inversione circolare di centro O.
Si costruiscono altre due semirette r ed s aventi l'origine V in comune; su r si riporta un segmento VA = OP e, consecutivamente, il segmento AK uguale a k. Sulla semiretta s si riporta un segmento VU = 1 e si determina il punto A' come intersezione con s della retta parallela al segmento AU condotta per il punto K. Per il teorema di Talete, vale la proporzione:
(Verificare la definizione con il software Cabri. N.B. Premere l'icona ">" per la ricostruzione "passo-passo".)
INVERSIONE CIRCOLARE: costruzione
Definita nel piano un'inversione circolare dalla terna di punti O, A e A' (O centro dell'inversione), il corrispondente B' di un punto generico B del piano si determina col seguente algoritmo (figura 5):
(Fig. 5)
si costruisce la semiretta s per O e B;
si costruisce l'asse del segmento AA';
si costruisce l'asse del segmento AB;
si determina il punto C d'intersezione tra i due assi;
si costruisce la circonferenza di centro C passante per A (e B e A');
si determina il punto B' d'intersezione tra la circonferenza ed s
Tale punto B' è il corrispondente di B nell'inversione circolare individuata dalla coppia A e A'. Infatti, per il teorema delle secanti, abbiamo:
E' di notevole interesse scoprire come varia la posizione di B' al variare di quella di B. In particolare scoprire qual è il luogo descritto da B' quando B si muove su una circonferenza NON passante per il centro O dell'inversione.
L'animazione realizzata ancora con il software Cabri ci permette di fare tale scoperta.
LUOGO GEOMETRICO 1° caso)
- Costruita arbitrariamente una circonferenza g non passante per O;
- preso un generico punto B su di essa;
- si determina il corrispondente B' con la procedura precedente;
- successivamente si chiede a CABRI di costruire il luogo geometrico descritto da B' al variare di B.
Potremo vedere che tale luogo è ancora una circonferenza g' che non passa per O.
LUOGO GEOMETRICO (2° caso)
La nuova animazione ci permette di scoprire il luogo descritto da B' quando la circonferenza descritta da B "passa" dal centro O.
Questo caso si ottiene semplicemente spostando col mouse il centro V della circonferenza g finché questa passa per O. Durante lo spostamento la circonferenza g' si modifica fino a diventare una retta (cioè una circonferenza di raggio infinito).
Abbiamo affermato che B' descrive una "circonferenza di raggio infinito". 
Dimostriamo che è veramente così. Sia OP il diametro passante per V e sia P' il corrispondente di P nell'inversione circolare determinata dalla coppia di punti A e A' (figura 6).
(Fig. 6)
Si ha:
L'ultima uguaglianza può essere scritta anche come proporzione:
MECCANISMO DI PEAUCELLIER
Supponiamo che la coppia di punti AA', che si corrispondono in un'inversione circolare di centro O, stia sul diametro di una circonferenza g (figura 7). Qualunque semiretta uscente da O interseca la circonferenza in due punti B e B' che, ancora per il teorema delle secanti, si corrispondono nella stessa inversione circolare.
(Fig. 7)
Questo caso particolare suggerisce il modo di costruire uno strumento capace di determinare "automaticamente" coppie di punti B e B' corrispondenti. Tale strumento è stato ideato dal francese PEAUCELLIER nel 1864 la cui struttura è schematizzata nella figura 8. Il meccanismo di Peaucellier è costituito da un rombo articolato MBCB' nei cui vertici M e C sono incernierate due aste uguali OM e OC (OM > BM) imperniate in O.
(Fig. 8)
Se A e A' sono due punti corrispondenti in un'inversione di centro O ( ), lo sono anche B e B'.
L'allineamento costante dei punti B e B' col punto O è assicurato dalla simmetria della figura. Muovendo a piacere B, il punto B' è univocamente individuato dalle articolazioni dello strumento. Naturalmente, nel meccanismo di Peaucellier, O è l'unico punto fisso, tutti gli altri, pur legati dalle articolazioni e dagli snodi, invece possono muoversi. Pertanto, per il teorema precedente, se B si muove su un arco di circonferenza passante per O il corrispondente punto B' descriverà un segmento di retta: abbiamo ottenuto uno strumento capace di disegnare un segmento senza l'uso di una riga. Tale strumento viene chiamato usualmente GUIDA RETTILINEA DI PEAUCELLIER.
Vediamo il suo funzionamento con l'animazione virtuale realizzata con Cabri.
INGRANDITORE AUTOFOCUS
Un'interessante applicazione della guida rettilinea di Peaucellier si trova negli ingranditori fotografici autofocalizzanti.
Se consideriamo una lente con distanza focale f, l'immagine di un oggetto si ottiene semplicemente costruendo due raggi: quello parallelo all'asse ottico che, dopo la rifrazione con la lente, passa per il fuoco F; quello che passa per il centro della lente che procede invece rettilineamente senza alcuna deviazione (figura 9).
(Fig. 9)
Si dimostra che, indicata con p la distanza dell'oggetto dalla lente, con q la distanza dell'immagine dalla lente, con f la lunghezza focale della lente stessa e con I l'ingrandimento valgono le relazioni:
Se variamo p , per rispettare tali relazioni, varia anche la posizione q dell'immagine e, di conseguenza, la sua grandezza. Pertanto, per avere l'immagine di un oggetto della grandezza desiderata sempre "a fuoco" su una carta fotografica posta alla base di un ingranditore, occorre spostare sia la posizione (p) dell'oggetto che quella (q) della lente.
Vediamo come questa condizione può essere resa automatica.
Con alcuni passaggi algebrici si ha:
- [math](p+q)/(p \cdot q)=(1/f) arr p \cdot q=p \cdot f+q \cdot f[/math](dopo aver fatto il denominatore comune e aver portato la relazione in forma intera);
- [math]p \cdot q+f^2=p \cdot f+q \cdot f+f^2[/math](se si aggiunge f 2 ai due membri, la relazione rimane invariata);
- [math]p \cdot q+f^2-p \cdot f-q \cdot f=f^2[/math](si trasportano i termini a sinistra cambiandoli di segno);
- [math]q \cdot (p-f)-f \cdot (p-f)=f^2 arr (p-f)(q-f)=f^2[/math](con due passaggi si scompone in fattori il primo membro);
- [math]AB \cdot A==f^2[/math](si pone[math](p-f)= AB[/math]e[math](q-f)=AO)[/math]
Si ottiene quindi una relazione che, algebricamente, rappresenta anche una inversione circolare di costante k = f 2.
L'ingranditore autofocus deve essere dimensionato in modo tale che AB = p - f e AO = q - f.
Questa condizione è resa costante dalle aste blu che non sono altro che "metà quadrilatero articolato di Peaucellier" (figura 10).
(Fig. 10)
L'animazione ci permetterà di verificare che, qualunque sia la posizione dell'oggetto, l'immagine avrà una lunghezza variabile ma rimarrà sempre sul piano su cui è posta la lastra fotografica e quindi sarà sempre a fuoco.
Il movimento dello strumento è comandato da una manopola applicata al punto H. Teniamo presente che O è l'unico punto fisso.
Inversione circolare:INGRANDITORE AUTOFOCUS
PANTOGRAFO
Il pantografo è basato sostanzialmente su un parallelogramma articolato: ACBP.
Se OA = AC = AP = PB = CB = BP' allora: OAP = OCP' = PBP' = APB = ALFA, COP' = CP'O = APO = BPP' = BETA
con OPA + APB + BPP' = 180° (figura 11). I punti O, P e P' sono quindi sempre allineati e la distanza di P' dal punto fisso O è sempre il doppio di quella di P. Dunque, se P descrive una curva, P' descrive una curva simile ma ingrandita di un fattore due.
(Fig. 11)
Il modello virtuale permette tre diversi ingrandimenti: 1,5 volte, 2 volte e 2,5 volte.
La posizione del punto O è variabile ma deve rimanere fissa durante la fase di costruzione del disegno ingrandito.
Quadrilateri articolati: PANTOGRAFO
BILANCINA DI PRECISIONE
Anche le piccole bilance che vengono usate per pesare piccoli oggetti si basano su un parallelogramma articolato.
Se AB = CD e BC = AD allora l'asta BC su cui è solidale il piatto porta oggetti è costretto a muoversi rimanendo parallelo all'asta verticale AD. L'asta AE, solidale all'asta AB (ma libera di ruotare intorno al punto A), contiene ad un estremo il piccolo peso P che equilibra il piatto della bilancia. L'arco EF, che contiene una scala tarata generalmente in grammi, può ruotare dietro un indice che permette di leggere il peso degli oggetti (figura 12).
(Fig.12)
Parallelogramma articolato: bilancina di precisione
ELLISSOGRAFO A FILO TESO
L'ellissografo a filo teso è la macchina matematica più semplice di questa ricerca.
La proprietà di cui godono tutti i punti P che appartengono ad un'ellisse: PF1 + PF2 = k (costante), dove F1 e F2 sono i fuochi, è infatti facilmente realizzabile in modo meccanico. E' sufficiente fissare le estremità di un filo di lunghezza uguale a k a due punti fissati stabilmente su un piano e lasciare scorrere la punta scrivente di una matita tenendo teso costantemente il filo (figura 13).
(Fig.13)
Il modello virtuale permette di verificare come varia la forma dell'ellisse solo variando la distanza tra i due fuochi, mantenendo fisso il valore di k.
Conicografo a filo: ELLISSE
PARABOLOGRAFO A FILO TESO
Il parabolografo a filo teso si ottiene con una semplice modifica della costruzione tradizionale del punto P che descrive il luogo geometrico "parabola" quando sono noti il fuoco F e la direttrice.
Preso un generico punto X della direttrice, condotta la perpendicolare r per X alla stessa direttrice e costruito l'asse s del segmento FX, il punto P d'intersezione tra s ed r è un punto della parabola in quanto, per definizione, è il luogo geometrico dei punti del piano per cui vale la proprietà: PF = PX (figura 14).
(Fig. 14)
Costruiamo allora una retta t parallela alla direttrice ad una distanza L da essa e sia Y il punto d'intersezione tra t ed r.
Se prendiamo un filo flessibile e inestensibile di lunghezza uguale ad L e fissiamo un estremo su Y e l'altro su F, avremo: L = YP + PF = YP + PX e quindi PF = PX. Se spostiamo contemporaneamente i punti X ed Y in modo che il segmento XY rimanga però sempre perpendicolare alla direttrice, allora una punta scrivente posta in P che obblighi il filo a rimanere teso e accostato ad XY costruirà una linea continua che sarà proprio una parabola avente il fuoco in F e direttrice d (figura 15).
(Fig. 15)
Conicografo a filo: PARABOLA
IPERBOLOGRAFO A FILO TESO
L'iperbole è il luogo geometrico dei punti del piano per cui vale la proprietà | PF1 - PF2 | = k, essendo F1 e F2 i due fuochi della conica (figura 16).
(Fig. 16)
Consideriamo allora un'asta AF1 di lunghezza opportuna a imperniata al piano nel fuoco F1 e un filo flessibile e inestensibile di lunghezza d (d 2 (figura 17).
(Fig. 17)
…¢ PF1 = AF1 - AP = a - AP;
…¢ PF2 = d - AP;
…¢ PF1 - PF2 = a - AP - d + AP = a - d = k.
(Fig. 18)
Tenendo con la punta di una matita il filo teso con il tratto AP accostato all'asta e facendo ruotare l'asta attorno al punto F1, il punto P descrive un arco di iperbole di fuochi F1 e F2 (figura 19).
(Fig. 19)
Conicografo a filo: IPERBOLE
