La storia inizia a farsi interessante quando si scopre che matematici del passato hanno definito anche numeri chiamati perfetti, numeri amichevoli (o amicabili) e tutta una serie di numeri “geometrici” come i triangolari, quadrati, pentagonali, esagonali e così via...
I pitagorici furono i primi a scoprire le particolarità che legano fra di loro questi numeri e furono proprio loro a battezzarli con questi nomi. 
I più semplici in assoluto sono i numeri triangolari: 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28,... Come si può facilmente verificare, l'n-esimo numero triangolare è uguale alla somma dei primi n numeri naturali.
Perchè si chiamano triangolari? E' molto semplice: provate a prendere 10 biglie (il quarto numero triangolare), a metterne 4 in fila, poi 3 subito sopra, poi 2, poi 1 in alto. Ciò che risulta è proprio un triangolo!
E' semplice dimostrare che tutti i triangoli di tale tipo possono essere costruiti solo a partire da un numero triangolare di biglie, dato dalla formula generale n*(n+1)/2.
Il caso successivo dei numeri quadrati è il più comune: n file e n colonne di palline tutte allineate formano un quadrato, per un totale di n2 biglie. I primi quadrati perfetti sono: 1, 4, 9, 25, 36, 49,…
Un po' più complicato è il caso per i numeri figurati di ordine superiore. Per capire qual è il loro significato, serviamoci nuovamente delle nostre biglie, e disponiamone 5 a pentagono (non necessariamente attaccate). 
Otteniamo in questo modo il secondo numero pentagonale, caratterizzato dal fatto che il pentagono ottenuto ha tutti i lati formati da 2 biglie (il primo numero pentagonale è l'1, che rappresenta il banale inizio della serie di tutti i numeri figurati). Per ottenere il terzo numero pentagonale, non dobbiamo fare altro che aggiungere una serie di biglie all'esterno in modo da ottenere esattamente 3 biglie su ogni lato. Ne servono 7, e infatti il terzo numero pentagonale è 5+7 = 12. Per la costruzione dei numeri più grandi si continua così, e la serie risulta essere: 1, 5, 12, 22, 35,...
Si procede allo stesso modo per i numeri esagonali (1, 6, 9, 22, ...) e per tutti i numeri “geometrici” di ordine superiore.
Si può estendere il concetto anche a figure non piane, ma solide? Ovviamente sì, come intuitivamente si potrebbe immaginare partendo dal concetto di cubo come insieme di n*n*n biglie allineate.
Il caso più semplice da trattare è quello dei numeri tetraedrici, che si possono rappresentare egregiamente servendosi ancora una volta delle costruzioni con le biglie. Costruiamo infatti un triangolo di base (uno qualsiasi dei numeri triangolari già citati). Poi immediatamente al di sopra di esso poniamo un altro strato di biglie, in modo da riempire tutti i buchi. Quante biglie abbiamo sistemato nel secondo strato? Ovviamente il numero triangolare precedente a quello scelto inizialmente. Continuiamo la costruzione a strati fino a porre l'ultima biglia in cima: abbiamo ottenuto un numero... tetraedrico! La serie in questione è questa volta: 1, 4, 10, 20, 35, 56, ... dove l'n-esimo numero corrisponde logicamente alla somma dei primi n numeri triangolari. La formula che li comprende tutti è n*(n +1)*( n +2)/6.
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