Piramide Numerica – Numerical Pyramid

Un numero naturale $n$ viene generalmente rappresentato in una base numerica $q$ associando una “sequenza finita di numeri naturali” \( n_k n_{k-1}n_{k-2}\ldots n_2 n_1 n_0 \), ciascuno scelto tra $0$ e $q-1$, in modo tale che valga l’uguaglianza \(n = n_k q^k + n_{k-1} q^{k-1}+\ldots+n_2q^2+n_1q+n_0\).

In questa trattazione ci interesseranno i numeri naturali in cui la “sequenza finita di numeri naturali” è formata da numeri naturali consecutivi \(1 2 3 4 \ldots (n-2)(n-1)n\). Chiameremo questi numeri con il termine generico $S_n$ e la rispettiva somma della serie numerica con base $q$ assumerà la forma:

\( \begin{equation} S_n = \sum_{k=1}^n kq^{n-k} \tag{1.1}\label{eq:1.1}\end{equation} \)

riscriviamo la serie in forma estesa:

\( \begin{equation}S_n = 1q^{n-1} + 2q^{n-2} + 3q^{n-3} + \ldots + (n-2)q^2 + (n-1)q^1 + n \tag{1.2}\label{eq:1.2} \end{equation} \)

moltiplichiamo la \(\ref{eq:1.2}\) membro a membro per il fattore $q$

\( \begin{equation} S_nq = 1q^n + 2q^{n-1} + 3q^{n-2} + \ldots + + (n-2)q^3 + (n-1)q^2 + nq \tag{1.3}\label{eq:1.3} \end{equation} \)

sottraiamo membro a membro alla \(\ref{eq:1.3}\) la \(\ref{eq:1.2}\) e raccogliamo a fattore comune al secondo membro i monomi simili

\( S_n q – S_n = 1q^n + (2-1)q^{n-1} + (3-2)q^{n-2}+ \ldots .. + \)

\( + (n-2-n+3) q^3 + (n-1-n+2)q^2+ (n – n + 1) q – n \)

possiamo notare che i termini all’interno delle parentesi rotonde al secondo membro valgono tutti 1, otteniamo quindi:

\[ S_n \cdot q – S_n = \sum_{k=1}^n q^{n-k+1} -n \]

ovvero

\[ \begin{equation} S_nq-S_n = q\sum_{k=1}^n q^{n-k} – n \tag{1.4} \label{eq:1.4} \end{equation} \]

esplicitando l’uguaglianza \(\ref{eq:1.4}\) rispetto al primo termine del secondo membro otteniamo:

\[ q\sum_{k=1}^n q^{n-k} = S_n q – S_n + n \tag{1.5}\label{eq:1.5} \]

sottraiamo $S_n$ alla \(\ref{eq:1.5}\) membro a membro

\(q\sum_{k=1}^n q^{n-k} -S_n = S_n q – 2S_n + n \)

ed esplicitiamola con le sommatorie della \(\ref{eq:1.1}\)

\( q \sum_{k=1}^n q^{n-k} – \sum_{k=1}^n kq^{n-k} = q\sum_{k=1}^n kq^{n-k} – 2 \sum_{k=1}^n kq^{n-k} + n \)

possiamo riscrivere la precedente nel modo compatto:

\( \sum_{k=1}^n (q-k) q^{n-k} = (q-2) \sum_{k=1}^n kq^{n-k} + n \)

oppure scambiando i membri:

\[ \begin{equation} (q-2) \sum_{k=1}^n kq^{n-k} + n = \sum_{k=1}^n (q-k)q^{n-k} \tag{1.6}\label{eq:1.6}\end{equation} \]
Se poniamo come base numerica $q=10$ e per “n” i rispettivi $9$ valori: $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9$ nella \(\ref{eq:1.6}\), otteniamo le relazioni numeriche seguenti:

\( 8 \sum_{k=1}^n k 10^{n-k} + n = \sum_{k=1}^n (10-k) 10^{n-k} \)

Piramide numerica - base 10

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Come altro esempio prendiamo la base numerica $q=16$ e per “n” i rispettivi 15 valori: $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F$ dove per i numeri naturali \( \gt 9\) si sono presi come simboli le prime lettere dell’alfabeto, come si conviene per la base esadecimale. Dalla \(\ref{eq:1.6}\) otteniamo:

\[ 14 \sum_{k=1}^n k16^{n-k} + n = \sum_{k=1}^n (16-k) \sum_{k=1}^n 16^{n-k} \]

ossia in esadecimale

\[ E\sum_{k=1}^n k10^{n-k} + n = \sum_{k=1}^n (10-k) 10^{n-k} \]

Piramide numerica - base 16

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dal notevole impatto visivo.

Un altro esempio interessante che non possiamo trascurare è la base della numerazione vigesimale degli antichi Maya: $q = 20$ e per “n” i rispettivi valori da 1 a 19.

Numeri Maya da 1 a 19

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Dalla \(\ref{eq:1.6}\) otteniamo: \[ 18\sum_{k=1}^n k 20^{n-k} + n = \sum_{k=1}^n (20-k) 20^{n-k} \]

Usiamo questa volta la simbologia numerica antica:

Piramide numerica coi numeri Maya

 

 

 

 

 

 

 

 

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