Un numero naturale
[math]n[/math]
viene generalmente rappresentato in una base numerica
[math]q[/math]
associando una “
sequenza finita di numeri naturali”
[math] n_k n_{k-1}n_{k-2} \ldots n_2 n_1 n_0 [/math]
, ciascuno scelto tra
[math]0[/math]
e
[math]q-1[/math]
, in modo tale che valga l'uguaglianza
[math]n = n_k q^k + n_{k-1} q^{k-1}+\ldots+n_2q^2+n_1q+n_0[/math]
.
In questa trattazione ci interesseranno i numeri naturali in cui la “sequenza finita di numeri naturali” è formata da numeri naturali consecutivi
[math]1 2 3 4 \ldots (n-2)(n-1)n[/math]
.
Chiameremo questi numeri con il termine generico
[math]S_n[/math]
e la rispettiva somma della serie numerica con base
[math]q[/math]
assumerà la forma:
[math]\begin{equation} S_n = sum_{k=1}^n kq^{n-k} \tag{1.1}\label{eq:1.1}\end{equation} [/math]
riscriviamo la serie in forma estesa:
[math]\begin{equation}S_n = 1q^{n-1} + 2q^{n-2} + 3q^{n-3} + \ldots + (n-2)q^2 + (n-1)q^1 + n \tag{1.2}\label{eq:1.2} \end{equation} [/math]
moltiplichiamo la
[math]\ref{eq:1.2}[/math]
membro a membro per il fattore
[math]q[/math]
[math]\begin{equation} S_nq = 1q^n + 2q^{n-1} + 3q^{n-2} + \ldots + + (n-2)q^3 + (n-1)q^2 + nq \tag{1.3}\label{eq:1.3} \end{equation} [/math]
sottraiamo membro a membro alla
[math]\ref{eq:1.3}[/math]
la
[math]\ref{eq:1.2}[/math]
e raccogliamo a fattore comune al secondo membro i
monomi simili
[math] S_n q - S_n = 1q^n + (2-1)q^{n-1} + (3-2)q^{n-2}+ \ldots .. + [/math]
[math] + (n-2-n+3) q^3 + (n-1-n+2)q^2+ (n - n + 1) q - n [/math]
possiamo notare che i termini all'interno delle parentesi rotonde al secondo membro valgono tutti 1, otteniamo quindi:
[math] S_n \cdot q - S_n = \sum_{k=1}^n q^{n-k+1} -n [/math]
ovvero
[math]\begin{equation} S_nq-S_n = q\sum_{k=1}^n q^{n-k} - n \tag{1.4} \label{eq:1.4} \end{equation} [/math]
esplicitando l'uguaglianza
[math]\ref{eq:1.4}[/math]
rispetto al primo termine del secondo membro otteniamo:
[math] q\sum_{k=1}^n q^{n-k} = S_n q - S_n + n \tag{1.5}\label{eq:1.5} [/math]
sottraiamo
[math]S_n[/math]
alla
[math]\ref{eq:1.5}[/math]
membro a membro
[math]q\sum_{k=1}^n q^{n-k} -S_n = S_n q - 2S_n + n [/math]
ed esplicitiamola con le sommatorie della
[math]\ref{eq:1.1}[/math]
[math] q \sum_{k=1}^n q^{n-k} - \sum_{k=1}^n kq^{n-k} = q\sum_{k=1}^n kq^{n-k} - 2 \sum_{k=1}^n kq^{n-k} + n [/math]
possiamo riscrivere la precedente nel modo compatto:
[math] \sum_{k=1}^n (q-k) q^{n-k} = (q-2) \sum_{k=1}^n kq^{n-k} + n [/math]
oppure scambiando i membri:
[math]\begin{equation} (q-2) \sum_{k=1}^n kq^{n-k} + n = \sum_{k=1}^n (q-k)q^{n-k} \tag{1.6}\label{eq:1.6}\end{equation} [/math]
Se poniamo come base numerica
[math]q=10[/math]
e per “n” i rispettivi
[math]9[/math]
valori:
[math]1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9[/math]
nella
[math]\ref{eq:1.6}[/math]
, otteniamo le relazioni numeriche seguenti:
[math] 8 \sum_{k=1}^n k 10^{n-k} + n = \sum_{k=1}^n (10-k) 10^{n-k} [/math]
Come altro esempio prendiamo la base numerica
[math]q=16[/math]
e per “n” i rispettivi 15 valori:
[math]1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F[/math]
dove per i numeri naturali
[math] > 9[/math]
si sono presi come simboli le prime lettere dell'alfabeto, come si conviene per la base esadecimale. Dalla
[math]\ref{eq:1.6}[/math]
otteniamo:
[math] 14 \sum_{k=1}^n k16^{n-k} + n = \sum_{k=1}^n (16-k) \sum_{k=1}^n 16^{n-k} [/math]
ossia in esadecimale
[math] E\sum_{k=1}^n k10^{n-k} + n = \sum_{k=1}^n (10-k) 10^{n-k} [/math]
dal notevole impatto visivo.
Un altro esempio interessante che non possiamo trascurare è la base della numerazione vigesimale degli antichi Maya:
[math]q = 20[/math]
e per “n” i rispettivi valori da 1 a 19.
Dalla
[math]\ref{eq:1.6}[/math]
otteniamo:
[math] 18\sum_{k=1}^n k 20^{n-k} + n = \sum_{k=1}^n (20-k) 20^{n-k} [/math]
Usiamo questa volta la simbologia numerica antica:
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