Poliedri regolari ed i solidi platonici

In questo appunto di matematica in cui si trattano i poliedri ed in particolare i cinque poliedri regolari, chiamati anche platonici.

I poliedri ed alcune proprietà

Un poliedro è una figura solida costituita dalla parte di spazio delimitata da poligoni posti su piani diversi in modo tale che ogni lato sia comune a due di essi: parte di spazio delimitata da poligoni situati su piani diversi e a due a due consecutivi, tali poligono si diranno facce del poliedro.
Quando due facce di un poliedro si incontrano lungo uno spigolo si forma un diedro. L’unione di tutte le facce in un vertice crea un angolo solido o angoloide.
Una definizione più rigoroso di poliedro è la seguente: un sottoinsieme connesso S di si dice superficie poliedrale se è l’unione di un numero finito di poligoni nello spazio (poligoni che corrispondono con le facce del poliedro) in modo tale che risultino soddisfatte le seguenti condizioni:

• l’intersezione di due facce, se non risulta essere l’insieme vuoto, è uno spigolo o un vertice comune alle due facce (che chiameremo spigolo o vertice del poliedro);
• ogni spigolo appartiene ad esattamente due facce;
• due facce adiacenti (ossia tali che la loro intersezione sia uno spigolo) non sono complanari;
• comunque sia fissi un vertice
  [math]
  V_i
  [/math]
  e due facce
  [math]
  f_i
  [/math]
  e
  [math]
  g_i
  [/math]
  che contengono
  [math]
  V_i
  [/math]
  , esiste una catena di facce
  [math]
  f_1, …, f_n,
  [/math]
  tutte contenenti
  [math]
  V_i
  [/math]
  e tali che
  [math]
  f_i = f_1
  [/math]
  ,
  [math]
  g_1 = f_n
  [/math]
  , ed
  [math]
  f_i
  [/math]
  sia adiacente ad
  [math]
  f_i + 1
  [/math]
  , per ogni
  [math]
  i = 1, …, n – 1
  [/math]
  .

Diremo che un poliedro è convesso se per ogni due punti della superficie del poliedro il segmento tra i due punti è interamente contenuto nella figura solida limitata dal poliedro.
Per tutti i poliedri vale la formula di Eulero (o Teorema di Eulero):

dove
V è il numero di vertici;
S è il numero di spigoli;
F è il numero di facce.
Inoltre vale il Teorema di rigidità di Cauchy, il quale asserisce che:
se due poliedri convessi A e B sono combinatorialmente equivalenti con le facce corrispondenti congruenti allori gli angoli tra corrispondenti coppie di facce adiacenti sono uguali, per cui i due poliedri sono congruenti. Si ricorda che due poliedri sono combinatorialmente equivalenti se è data una biiezione che manda l’insieme delle facce di A nell’insieme delle facce di B e che preserva dimensione ed inclusione tra le facce.

Poliedri regolari

Diremo dunque superficie poliedrica convessa ogni figura formata da poligoni convessi tali che siano:

• a due a due non complanari;
• tali che ogni loro lato sia comune a due (e due soli) poligoni;
• siano disposti in modo che il piano di ciascuno di essi lasci tutti gli altri in un medesimo semispazio.

In base a tale definizione chiameremo poliedro convesso l’intersezione di tali semispazi:
i poligoni, i loro lati, i loro vertici vengono chiamati rispettivamente facce, spigoli, vertici tanto della superficie poliedrica, quanto del poliedro.
I diedri convessi e gli angoloidi convessi individuati rispettivamente da due facce aventi uno spigolo in comune e dalle facce con un vertice in comune vengono chiamati i diedri e gli angoloidi tanto della superficie poliedrica quanto del poliedro. Si ricorda che piramidi e prismi di qualunque genere sono poliedri.
Particolare interessa si riserva ai poliedri regolari.
Chiameremo regolare un poliedro convesso le cui facce sono tutte poligoni regolari uguali fra loro e tale che in ogni suo vertice concorra uno stesso numero di facce.
Sappiamo che esistono infiniti tipi di poligoni regolari, tanti quanti sono i lati che si vogliono considerare. Al contrario, per quanto riguarda i poliedri regolari, ne esistono solo cinque tipi:

• tetraedro;
• esaedro (comunemente conosciuto come cubo);
• ottaedro;
• dodecaedro;
• icosaedro.

Tale ragionamento si basa sul fatto che ogni angoloide del poliedro ha almeno tre facce la cui somma è minore di 360°.
Il fatto che abbiano lati, facce angoloidi uguali e che abbiano la proprietà di essere iscrivibili e circoscrivibili a sfere concentriche, limita il numero di tali solidi ad appena cinque poliedri: infatti per la formazione dell’angolo solido non si può avere in un vertice un numero di facce concorrenti inferiore a tre, né la somma degli angoli adiacenti uguale o superiore ad un angolo giro.
In base a questo ragionamento, i poligoni regolari che possono costituire la facce dei poliedri regolari sono esclusivamente il triangolo, con un massimo di cinque facce in un vertice, il quadrato ed il pentagono con un massimo di tre facce.

Simmetrie dei poliedri regolari

Si dice che un poliedro regolare ammette come centro di simmetria un punto O, ovvero che il poliedro è simmetrico rispetto ad O se nella simmetria di centro O, che chiameremo il poliedro ha come immagine se stesso, ossia il simmetrico P’ di un qualunque punto P del poliedro è ancora un punto del poliedro.
Diremo che un poliedro regolare ammette come asse di simmetria una retta r, ovvero che il poliedro è simmetrico rispetto ad r se nella simmetria di asse r, che chiameremo il poliedro ha come immagine se stesso, ossia il simmetrico P’ di un qualunque punto P del poliedro è ancora un punto del poliedro.
Infine diremo che un poliedro regolare ammette come piano di simmetria un piano , ovvero che il poliedro è simmetrico rispetto a \pi se nella simmetria rispetto a \pi, che chiameremo il poliedro ha come immagine se stesso, ossia il simmetrico P’ di un qualunque punto P del poliedro è ancora un punto del poliedro.

I poliedri platonici

I poliedri regolari sono chiamati anche poliedri platonici poiché citati da Platone come le forme degli elementi originari della sua filosofia della natura espressa nel dialogo “Timeo”.
Il tetraedro regolare per Platone è il simbolo del fuoco ed è una piramide triangolare regolare con le facce laterali uguali alla base: ogni faccia è un triangolo equilatero, per un totale di quattro facce.
Supponendo che si appoggi su di un piano orizzontale, si ha che la prima proiezione della base coincide con la base stessa, mentre le sue altezze rappresentano la proiezione degli spigoli concorrenti nel vertice.
L’esaedro regolare, per Platone è il simbolo della terra, è più comunemente conosciuto come il cubo, costituito da sei facce che sono quadrati.
L’ottaedro regolare è considerato da Platone il simbolo dell’aria e si ottiene dall’unione di due piramidi quadrangolari regolari situate da parti opposte della comune base e le cui facce sono triangoli equilateri: bipiramide con otto facce triangolari, quattro per ogni vertice.
Il dodecaedro regolare è considerato da Platone la quintessenza ossia lo spirito del cosmo. Tale poliedro regolare ha dodici facce ovviamente uguali, ciascuna costituita da un pentagono regolare.

Dodici facce pentagonali, ovviamente regolari, parallele a due a due, con le facce di ogni coppia ruotate di 180°. Si può osservare che le distanze dei vertici delle facce inclinate dai piani delle basi sono uguali alle misure dei raggi dei cerchi circoscritti al pentagono, inoltre queste grandezze stanno fra loro in rapporto aureo.
L’icosaedro regolare per Platone è il simbolo dell’acqua ed ha una superficie costituita da venti triangoli equilateri identici, concorrenti in numero di cinque in ogni vertice. Immaginandolo con un vertice appoggiato su di un piano orizzontale e con l’asse verticale, in prima proiezione le cinque facce superiori definiscono un pentagono, mentre le dieci laterali sono contenute fra il perimetro di questo ed il decagono circoscritto.
L’esaedro e l’ottaedro sono duali, ossia ciascuna delle due figure può essere ottenuta dall’altra permutando il piano di ciascuna faccia con il punto centrale della faccia stessa. La stessa legge proiettiva la si ritrova tra il dodecaedro e l’icoesaedro.
L’individuazione della geometria dei poliedri in natura nelle strutture di cristallizzazione dei minerali; la scoperta di numerose corrispondenze geometriche e matematiche nella loro forma; la tendenza in epoche storiche ad attribuire quel tipo di perfezione ad una manifestazione del divino, spiegano la grande fortuna che hanno avuto i poliedri regolari in molti aspetti del pensiero artistico, filosofico e scientifico. In ambito architettonico sono molto famose le cupole di Richard B. Fuller.

per ulteriori approfondimenti sui solidi platonici vedi anche qua