Nel cervello i numeri sono rappresentati da… una retta numerica [Stanislas Dehaene]

stanislas.dehaene.png“Bisogna dire e ripetere ai genitori dei bambini dislessici che la genetica non è una condanna per l’eternità; che il cervello è un organo plastico, perennemente in costruzione, dove l’esperienza detta legge tanto quanto il gene; che le anomalie delle migrazioni neurali, quando esistono, colpiscono solo piccolissime regioni della corteccia; che il cervello del bambino comprende milioni di circuiti ridondanti che possono compensarsi tra loro; e che, infine, la nostra capacità di intervento non è nulla: ogni nuovo apprendimento modifica l’espressione dei nostri geni e trasforma i nostri circuiti neurali”. Stanislas Dehaene, I neuroni della lettura, Cortina 2009

Il cervello umano sembra più assimilabile ad un computer analogico piuttosto che digitale: i numeri sono rappresentati in esso da una retta numerica orientata come l’asse delle ascisse di Cartesio. I cuccioli umani, così come alcuni animali, sanno di solito contare da 1 a 3. La matematica non cresce per accumulazione progressiva, ma è soggetta anch’essa all’evoluzione darwiniana. La teoria intuizionista sembra descrivere meglio i fondamenti della matematica rispetto alle teorie platoniche o a quelle logico formali. Essa inoltre suggerisce di insegnare la matematica anche lasciando i bimbi liberi di esercitare la propria inventività giocando con un pallottoliere, con i dadi o, i più grandicelli, con una calcolatrice tascabile piuttosto che limitarsi al formalismo dell’insiemistica, delle formule e dei teoremi. Tra l’intuizionismo di Brouwer, che rifiuta il principio del terzo escluso, e quello più aperto di Poincaré è da privilegiare il secondo.

Sono queste alcune posizioni di Stanislas Dehaene (matematico, computer scientist e psicologo cognitivo francese nato nel 1965) da lui riportate nel libro: Il pallino della matematica, Oscar Mondadori 2000. Queste idee sono preziose per l’insegnamento della matematica e più in generale per il problem solving, ma è forse meglio lasciare a lui direttamente la parola.

"Tutto avviene come se avessimo in testa, per confrontare, una bilancia per soppesare i numeri o, più verosimilmente, una rete di neuroni che si comporta allo stesso modo. Le capacità aritmetiche del nostro cervello si lasciano modellizzare più facilmente da una macchina analogica come una bilancia, piuttosto che da un programma digitale… il nostro cervello non si serve di un codice digitale come farebbe un computer, ma di una rappresentazione interna quantitativa e continua. Il cervello non è una macchina logica, bensì un dispositivo analogico. R. Gallistel ha espresso questa conclusione con grande semplicità: Di fatto il sistema nervoso inverte la convenzione rappresentativa secondo la quale i numeri vengono utilizzati per rappresentare grandezze lineari. Invece di servirsi dei numeri per rappresentare le grandezze, il ratto [proprio come l’Homo sapiens!] utilizza le grandezze per rappresentare i numeri." pag. 263

"L’associazione tra numero e spazio è all’origine dell’immagine con cui le quantità numeriche sono rappresentate nel nostro cervello, ossia quello di una retta numerica. Tutto avviene in effetti come se i diversi numeri fossero allineati mentalmente su una retta ove, a ogni posizione, corrispondesse una certa quantità. Numeri vicini sono rappresentati da posizioni vicine sulla retta; non c’è da meravigliarsi quindi che sia più facile confonderli: ciò rivela appunto l’effetto di distanza numerica. Inoltre questa è orientata nello spazio: lo zero si trova all’estrema sinistra mentre i numeri più grandi si estendono verso destra… L’assorbimento di questo sistema ha inizio già nell’infanzia, ancor prima di cominciare ad andare a scuola. Fin dalla scuola materna i bambini americani imparano a esplorare il loro ambiente da sinistra verso destra mentre i piccoli israeliani, che imparano a leggere e a scrivere da destra a sinistra fanno esattamente il contrario.", pag. 91-92.

"Il nostro cervello non si seve di assiomi. Perché insistiamo su questo punto? Il fatto è che, se il mondo degli educatori avesse prestato un po’ più di attenzione, una catastrofe senza precedenti nell’insegnamento della matematica sarebbe potuta essere evitata: parlo del triste episodio della matematica moderna. Con il pretesto di insegnare ai ragazzi un po’ più di rigore (idea tutto sommato ragionevole), venivano loro propinati, fin dalla più tenerea età, assiomi e formalismi astrusi. Dietro questa riforma si nascondeva una teoria implicita dell’apprendimento fondata sulla metafora del cervello-computer, che vedeva nel bambino un sistema per il trattamento dell’informazione praticamente vergine…. Il cervello di un bambino non è una spugna, ma un organo già strutturato che impara soltanto ciò che è in risonanza con le sue conoscenze anteriori. E’ adeguato alla rappresentazione delle quantità continue e alla loro manipolazione approssimativa sotto forma analogica. L’evoluzione però non l’ha mai preparato a ingurgitare vasti sistemi di assiomi o lunghi algoritmi simbolici e nei loro confronti si mostra molto riluttante. E’ così che l’intuizione ha la meglio sugli assiomi. Come osservava acutamente Locke nel 1689: Sono molti quelli che sanno che 1+2 = 3 senza mai aver riflettuto sugli assiomi che lo dimostrano.", pag. 267.

"Il cucciolo umano viene al mondo con meccanismi innati di individuazione degli oggetti e di percezione dei piccoli numeri. Questo senso dei numeri è presente anche negli animali ed è quindi indipendente dalla capacità di linguaggio e possiede una lunga storia evolutiva. Nel bambino la stima numerica, il confronto, il contare, le addizioni, e le sottrazioni semplici esistono spontaneamente, senza una educazione esplicita. La regione parietale inferiore dei due emisferi cerebrali contiene circuiti neurali preposti alla manipolazione delle quantità numeriche. L’intuizione dei numeri è dunque saldamente ancorata nel nostro cervello. Il numero vi compare come una delle categorie fondamentali tramite le quali il nostro sistema nervoso rappresenta il mondo esterno.", pag 271.

"L’universo è stato davvero concepito secondo leggi naturali matematiche? non pretenderò certo di risolvere questo problema metafisico che lo stesso Einstein considerava come il mistero più profondo. Suscita tuttavia meraviglia vedere eminenti scienziati enunciare, nel corso delle loro ricerche, la loro fede in un disegno universale e la loro sottomissione a entità non visibili, siano esse chiamate "Dio" o "leggi matematiche dell’universo". In biologia, la rivoluzione darwiniana ci ha insegnato che l’esistenza di strutture organizzate, che sembrano concepite per uno scopo preciso, non è necessariamente l’opera di un grande Architetto… La selezione della matematica è un fatto indiscusso. Conosciamo la storia della sua lunga ascesa attraverso tentativi ed errori verso una maggior efficacia. Non è dunque necessario supporre che l’universo sia stato concepito per essere conformato alle leggi matematiche. Non potrebbe essere piuttosto che le nostre leggi matematiche e, prima ancora, i principi di organizzazione del cervello siano stati selezionati in funzione del loro adattamento alla struttura dell’Universo? Il miracolo dell’efficacia della matematica caro a Wigner, si spiegherebbe allora con una evoluzione selettiva, proprio come il miracolo dell’adattamento dell’occhio alla vista. Se la matematica di oggi è efficace, forse dipende dal fatto che tanta matematica inefficace di un tempo è stata spazzata via senza pietà… In ultima analisi il problema dell’irragionevole efficacia della matematica perde molto del suo mistero se si tiene presente che i modelli matematici si adattano raramente in modo perfetto alla realtà fisica. Le traiettorie dei pianeti non sono delle ellissi, checché ne dica Keplero… In pratica tutti i pianeti seguono traiettorie caotiche, impossibili da calcolare con precisione al di la di qualche migliaio di anni, e che assomigliano localmente a delle ellissi.", pag. 277-278.

"La dottrina platonica è molto diffusa tra i matematici (Hardy, Hermite,ecc.) e sono convinto che descriva esattamente la loro introspezione: hanno veramente l’impressione di muoversi in un paesaggio di numeri e di figure indipendenti dalle loro persone… Per l’epistemologo, il neurobiologo o il neuropsicologo la posizione platonica sembra difficile da difendere, quasi altrettanto inaccettabile del dualismo cartesiano come teoria scientifica del cervello. Proprio come l’ipotesi dualistica si scontra con la difficoltà di spiegare come l’anima immateriale può interagire con il corpo fisico, la dottrina platonica lascia in ombra come un matematico in carne ed ossa riesca ad esplorare l’universo astratto degli oggetti matematici. Se questi oggetti sono reali ma immateriali, per quale tramite extrasensoriale il matematico riesce a percepirli? Anche se l’introspezione del matematico lo persuade della realtà degli oggetti che studia è probabile che questo sentimento sia soltanto una illusione. Abbandoniamo ora la dottrina platonica e occupiamoci di una seconda categoria di matematici, i "formalisti", i quali, al contrario ritengono che il problema della esistenza degli oggetti matematici non si ponga. Secondo loro la matematica è soltanto un gioco in cui si maneggiano dei simboli con regole formali precise. Oggetti matematici come i numeri non hanno alcuna realtà: essi possono definirsi semplicemente come un insieme di simboli che verificano assiomi arbitrari. David Hilbert, il capogruppo dei formalisti, una volta disse scherzando che, invece di affermare che per due punti passa una retta e una sola, si potrebbe benissimo dire che per due boccali di birra passa una tavola ed una sola; questo non modificherebbe per niente i teoremi della geometria! O per tornare alle parole di Wittgenstein: "Tutte le proposizioni matematiche vogliono dire la stessa cosa, ossia niente".

I formalisti sono certo nel vero quando affermano che buona parte della matematica è diventata un gioco formale… Eppure io non credo che si possa ridurre così tutta la matematica all’esplorazione di scelte formali ed arbitrarie… A me pare che i matematici, per lo meno all’inizio delle loro ricerche, non maneggino i simboli secondo regole puramente arbitrarie. Al contrario, si sforzano di cogliere nei loro teoremi alcune intuizioni fisiche, numeriche, geometriche o logiche. Una terza categoria di matematici è dunque quella degli "intuizionisti" o "costruzionisti" per i quali gli oggetti matematici non sono che costruzioni dello spirito umano. Secondo loro la matematica non esiste nell’universo, ma soltanto nel cervello del matematico che la inventa. L’aritmetica, la geometria, la logica non preesistono alla specie umana… Sebbene sia persuaso che i dati empirici avvalorino un intuizionismo vicino a quello professato da Poincaré desidero dissociare la mia posizione da una versione estrema di intuizionismo, il costruttivismo difeso con ardore da Lucient Browuer… che rifiutava l’applicazione agli insiemi infiniti del principio del terzo escluso; una legge dall’apparenza innocente che afferma che una proprietà P o è vera o e falsa… I criteri che presiedono alle costruzioni matematiche sono molteplici. In matematica pura, è l’assenza di contraddizioni, ma anche l’eleganza e la semplicità che garantiscono che una costruzione matematica verrà conservata, perché entra in risonanza con le nostre rappresentazioni cerebrali. Nella matematica applicata vi è anche un criterio che permette di adeguare gli oggetti matematici al mondo fisico. Nel corso degli anni le costruzioni matematiche contraddittorie, poco eleganti o inutili vengono individuate ed eliminate senza pietà. Solo le più solide resistono alla prova del tempo.", pag. 268-273.

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  1. Il prossimo 18 Settembre alla Sissa di Trieste Dehaene presenterà i risultati di una ricerca in cui si mostra che i calcoli aritmetici attivano aree cerebrali diverse da quelle usate per il linguaggio, ma che hanno modalità similari a queste consistenti nella applicazione ripetuta. Chomsky in un celebre articolo su Science aveva mostrato che un aspetto fondamentale dell’evoluzione del linguaggio è stato riconoscere che i simboli sono incassati uno dentro l’altro e che la nostra mente procede dall’interno verso l’esterno. Secondo Dehaene nelle formule aritmetiche abbiamo un processo simile. Analizzando in soggetti matematicamente istruiti i movimenti oculari, ma anche i risultati dell’attivazione cerebrale, si è constatato che viene coinvolta un area vicina al giro fusiforme (attiva durante la lettura). Ad esempio dovendo calcolare la semplice formula x = 4 – ((2+3)*5) ci si concentra sul calcolo più incassato (2+3=5) per procedere poi a quello immediatamente più esterno (5*5=25) concludendo infine con il calcolo più esterno (x = 4-25 = -21).
    Poiché questo modo di procedere, che sembra cablato nel nostro cervello, coincide con le regole elementari dell’aritmetica ci si chiede quali possono essere le conseguenze della scoperta sul problema di come insegnare meglio la matematica?