Prospect Theory: il modello matematico

In economia si definisce utilità la misura della quantità di soddisfazione procurata all’individuo dall’ottenimento di un bene. Secondo un approccio quantitativo si parla di utilità cardinale quando si assume che, almeno in linea di principio, in ogni circostanza si possano determinare e sommare le varie utilità associabili a quantità definite di ogni bene.
Una particolare situazione si ha quando il bene considerato è una quantità monetaria. Si possono immaginare due casi: nel primo si considera uno stock monetario (la ricchezza o patrimonio), nel secondo si considera un flusso (guadagno o perdita di denaro).
Il primo che storicamente si interessò del problema fu Daniel Bernoulli, che nel 1738 scrisse un saggio sull’argomento (R1). Egli assunse come base della sua teoria la ricchezza, che indichiamo con W (che sta per wealth), ed immaginò che l’utilità fosse funzione della ricchezza:

\[ U = F(W) \]

Secondo Bernoulli l’utilità marginale (derivata dell’utilità $U$ rispetto alla ricchezza $W$) è inversamente proporzionale alla ricchezza (R2),

\[ \frac{dU}{dW} = \frac{a}{W} \]

Lo stesso concetto può essere espresso dicendo che la variazione di utilità è proporzionale alla variazione percentuale di ricchezza

\[ dU = a \frac{dW}{W}\]

Questa semplice equazione differenziale a variabili separabili si integra ottenendo:

\[ \begin{equation} U = a \ast \ln(W) + b \label{eq1} \end{equation} \]

La funzione, che tutti gli studenti ben conoscono, è tradotta dal seguente diagramma:

Bernoulli - Utilita in funzione della ricchezza

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Essa esprime la sua idea che l’utilità non è costante ma dipende dal livello di ricchezza.
Questo è molto convincente dal punto di vista realistico: regalare 1000€ a chi possiede una ricchezza $W= 1$ milione di € è di modestissima utilità; chi la riceve (punti blu che rappresentano la ricchezza prima e dopo la donazione, nel diagramma seguente) probabilmente li versa sul conto corrente e se ne dimentica. Mentre la stessa somma, regalata a chi possiede solo 1000 € (punti rossi) raddoppia la sua ricchezza ed è di grandissima utilità al beneficato. Potrà comprarsi più cibo, abiti ed altri generi essenziali che finora non era in grado di permettersi.

Bernoulli - La variazione di utilita dipende dalla ricchezza iniziale

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Fin qui siamo sul terreno della certezza. Tuttavia nella vita reale guadagni e perdite abitualmente non sono certi, ma affetti da rischio. Consideriamo ad esempio un investimento industriale: si può immaginare di ottenere un guadagno e la relativa utilità con una determinata probabilità $p$. Ecco allora che per incorporare l’effetto del rischio, è apparso ragionevole moltiplicare l’utilità per la probabilità. La nuova variabile $pU$ prende il nome di utilità attesa.
Se l’esito di una scelta soggetta a rischio (investimento, lotteria, scommessa,..) presenta diversi possibili risultati, ciascuno con una sua probabilità, l’utilità attesa è la somma pesata:

\[ \begin{equation} U = \sum p_iU_i \label{eq2} \end{equation} \]

Dove le rispettive $U_i$ sono date dalla (\(\ref{eq1}\)).
L’economia classica assume che il comportamento dell’individuo, di fronte a scelte che comportano rischio (vale a dire probabilità note o comunque immaginate) calcoli l’utilità media attesa con la (\(\ref{eq2}\)).
Ad esempio consideriamo un individuo che possiede la ricchezza iniziale $W_0$ al quale viene proposto un investimento che presenta i possibili guadagni $x_1$ e $x_2$, rispettivamente con probabilità $p$ e $1-p$.
Si può immaginare di calcolare il nuovo livello di ricchezza $W$ rispetto alla situazione iniziale $W_0$.
Intanto determiniamo la ricchezza per i due possibili esiti:

\( W_1 = W_0 + x_1 \text{ con probabilità } p \)
\( W_2 = W_0 + x_2 \text{ con probabilità } 1-p \)

E quindi calcoliamo l’utilità attesa, iniziale e finale con la (\(\ref{eq1}\)):

\( U_0 = a \ast \ln (W_0) + b \)

\( U = a \ast p \ast \ln(W_0 + x_1) + a \ast (1-p)  \ast \ln (W_0 + x_2) + (p+1-p)b \)

La variazione di utilità risulta:

\( \Delta U = U – U_0 = a \ast \ln \frac{(W_0+x_1)^p(W_0 + x_2)^{(1-p)}}{W_0} = a \ast \ln \frac{(W_1)^p(W_2)^{(1-p)}}{W_0} \)

In questo modo scompare la costante $b$.
Per applicare questa teoria ai casi pratici ci serve la costante $a$, da determinare con una ricerca sperimentale. Comprendiamo che una ricerca del genere è a mezza strada tra l’economia e la psicologia, ma all’epoca di Bernoulli la psicologia (che è una scienza sperimentale) ancora non esisteva, mentre l’economia non era ancora stata formulata su basi quantitative. In conclusione la teoria di Bernoulli, che si presta a utili riflessioni, resta sostanzialmente di tipo qualitativo. (Chi è interessato alla trattazione più generale della teoria dell’utilità può leggere la voce dell’Enciclopedia Filosofica di Stanford (R6)).
In epoca successiva gli economisti hanno rielaborato l’idea nell’ambito della teoria della decisione tralasciando il concetto di utilità e limitandosi, per maggiore concretezza pratica, a valutare guadagni e perdite attese in condizioni di rischio. In breve, la teoria economica classica si limita a calcolare:

\[ \begin{equation} x = \sum p_i x_i \tag{9}\label{eq9}\end{equation} \]

Dove $x_i$ sono i guadagni ottenibili dai diversi possibili risultati della decisione o scommessa, mentre $x$ è il valore medio atteso del guadagno.

Se sono possibili diverse scelte alternative, ognuna delle quali presenta un insieme di possibili guadagni con le relative probabilità, la teoria economica richiede che per ogni alternativa si calcoli il guadagno atteso con la (\(\ref{eq9}\)) e si scelga, anzi si debba scegliere l’alternativa di massimo guadagno.

Questa teoria normativa è stata lungamente sostenuta dagli economisti fin quando qualcuno ha cominciato a metterla in dubbio nella seconda metà del ‘900. Si è osservato che il comportamento effettivo dell’individuo di fronte alle scelte economiche è alquanto diverso. Di fatto si è rilevato che la persona è solitamente avversa al rischio. Se deve scegliere tra un guadagno certo ed uno rischioso, l’individuo di solito preferisce l’alternativa certa, a patto che le utilità attese siano comparabili.

Un’osservazione banale: la teoria normativa (\(\ref{eq9}\)) è assolutamente condivisibile quando la medesima scelta possa essere replicata un gran numero di volte in condizioni assolutamente identiche. In questa situazione la teoria delle probabilità ha modo di esplicarsi efficacemente e la teoria funziona. Ma nella realtà questo non avviene mai; di solito l’opportunità di scelta si presenta una sola volta. In questa situazione si può facilmente realizzare la situazione sfavorevole. Quindi l’individuo preferisce la certezza.

Diversi studiosi hanno scelto approcci diversi dalla teoria classica. In particolare, due psicologi Tversky e Kahnemann (in seguito TK) hanno deciso di ritornare all’utilità e dopo lunghe riflessioni sull’argomento hanno sviluppato una teoria quantitativa comportamentale dell’utilità, denominata Prospect Theory (R3).
A differenza della teoria di Bernoulli, basata sulla ricchezza $W$, TK ritengono di assumere come variabile indipendente il guadagno (o la perdita) $x$.
Tversky e Kahnemann hanno inventato dei test di quella che è stata definita economia sperimentale/ comportamentale di KT e li hanno provati tra di loro. In un secondo tempo hanno ampliato i test, li hanno proposti a gruppi di studenti ed hanno valutato le loro risposte di fronte a diverse alternative che comportano guadagni o perdite soggetti a rischio.

I risultati dei test sono stati elaborati in un modello che, dal punto di vista matematico, possiamo immaginare sia stato costruito nel seguente modo.

Assumiamo, per ora, di trascurare il rischio, riservandoci di introdurlo in uno step successivo.
Si fa l’ipotesi che la variazione % dell’utilità sia proporzionale alla variazione% del guadagno:

\[ \frac{dU}{U} = \alpha \frac{dx}{x} \]

Che si integra, ottenendo:

\[ \ln(U) = \alpha \ln(x) + \mbox{cost} \]

Possiamo esprimere la costante in forma logaritmica: \( \mbox{cost} = \ln(\rho)\)

Quindi: \[ \ln(U) = \alpha \ln(x) + \ln(\rho) = \ln ( \rho x^\alpha) \]

Ed infine: \[ \begin{equation} U = v(x) = \rho x^\alpha \,\,\,\,\,\,\,\, x \gt 0 \tag{3} \label{eq3} \end{equation} \]

(dove $v(x)$ sta a indicare in forma generale che $U$ è funzione di $x$).

In conclusione KT ottengono una semplice funzione di potenza. I dati sperimentali fittano un valore \(\alpha \lt 1 \) e dunque la (\(\ref{eq3}\)) è una funzione il cui diagramma dal punto di vista qualitativo assomiglia (grosso modo) a quello della teoria di Bernoulli (\(\ref{eq1}\)). In sintesi una curva (che vedremo fra poco) concava verso l’asse delle ascisse.

La correlazione (\(\ref{eq3}\)) così costruita si presta bene ed in modo semplice a descrivere i guadagni (\(x \gt 0\)).
In caso di perdite (\(x \lt 0\)) ci aspettiamo dai dati sperimentali delle utilità negative. Con un piccolo trucco si cambiano i segni della (\(\ref{eq3}\)) e la funzione si rovescia:

\[ \begin{equation} U = v(x) = -\lambda (-x)^\beta \tag{4}\label{eq4} \end{equation} \]

Dunque la teoria di TK prevede che l’utilità abbia un ramo positivo rappresentato dalla (3) ed un ramo negativo individuato dalla (\(\ref{eq4}\)).

Ora ci ricordiamo che guadagni e perdite non sono certi, ma soggetti a rischio e dobbiamo fare spazio alle probabilità. A differenza della teoria classica che si limita a moltiplicare l’utilità $U$ per la probabilità $p$, KT come pure altri studiosi hanno notato che l’individuo tende a sovrastimare l’effetto di p quando è grande ed a sottostimarlo quando è piccola. Pertanto hanno proposto di costruire come fattore moltiplicativo non la probabilità ma una funzione della probabilità, che tiene conto di tale comportamento:

\[ \begin{equation} W_{+}(p) = \frac{p^\gamma}{[p^\gamma + (1-p)^\gamma]^{\frac{1}{\gamma}}} \,\,\,\,\,\,\,\, x \gt 0 \tag{5}\label{eq5} \end{equation} \]

\[ \begin{equation} W_{-}(p) = \frac{p^\delta}{[p^\delta + (1-p)^\delta]^{\frac{1}{\delta}}} \,\,\,\,\,\,\,\, x \lt 0 \tag{6}\label{eq6} \end{equation} \]

Le (\(\ref{eq5}\)) e (\(\ref{eq6}\)) si applicano ai due rami della funzione di utilità perché si è rilevato, sperimentalmente, che la probabilità gioca un ruolo diverso nel comportamento dell’individuo a seconda che si abbia guadagno o perdita. Le due funzioni si possono definire probabilità pesate.

Qui sotto gli andamenti delle (\(\ref{eq5}\)) e (\(\ref{eq6}\)).

Grafico funzioni probabilità pesate

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Dove si vede che per valori piccoli di $p$ la $w(p)$ sta sopra la diagonale (sovrastima), mentre per valori grandi di $p$ sta al disotto (sottostima).

In definitiva la teoria di TK esprime l’utilità come prodotto di due funzioni;

\[ U = w(p) \ast v(x) \]

Infine, per distinguere l’utilità classica $U$ da quella sviluppata da TK, decidiamo di definire quest’ultima $P$ (dove P sta per Prospect).

Il modello completo di utilità proposto da TK, tenendo conto dei parametri di fitting dei dati sperimentali è il seguente (R4):

\[ \begin{equation} P = 2.25(-x)^{0.88} \ast w_(p) = \\  = -2.25(-x)^{0.88} \frac{p^{0.69}}{[p^{0.69}+(1-p)^{0.69}]^{\frac{1}{0.69}}} \,\,\,\,\,\,\,\, x \lt 0 \tag{7}\label{eq7} \end{equation} \]

\[ \begin{equation} P = x^{0.88} \ast w_(p) = x^{0.88} \frac{p^{0.61}}{[p^{0.61}+(1-p)^{0.61}]^{\frac{1}{0.61}}} \,\,\,\,\,\,\,\, x \gt 0 \tag{8}\label{eq8} \end{equation} \]

Un esempio della funzione di utilità attesa secondo la Prospect Theory è riportato nel seguente diagramma

Grafico della funzione utilità secondo la Prospect Theory

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Si vede chiaramente che il ramo negativo (perdita) ha pendenza nettamente superiore al ramo positivo ( guadagno); questo è ben evidente nel diagramma inferiore che riporta la $P$ marginale, vale a dire la derivata di $P$ rispetto a $x$.

Grafico della funzione P marginale

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Dal diagramma della $P$ marginale si vede chiaramente che i due rami presentano asintoto verticale nell’origine degli assi: questo significa che la tangente ad entrambi i rami di $P(x)$ per \((0,0)\) coincide con l’asse delle ordinate (il lettore interessato può facilmente verificarlo calcolando le derivate analitiche).
Il fatto che la funzione \(P(x,p)\) abbia due rami diversi per il guadagno e la perdita evidenzia il comportamento asimmetrico dell’individuo nell’alternativa guadagno vs perdita.

Il diagramma completo delle correlazioni (\(\ref{eq7}\)) e (\(\ref{eq8}\)) (qui sotto) mette in luce l’effetto congiunto di guadagno/perdita a diversi valori della funzione di probabilità $w(p)$.

Prospect P in funzione del risultato potenziale x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Dove la variabile indipendente $x$ è genericamente definita risultato potenziale (in pratica vuol dire guadagno quando \(x \gt 0\), perdita quando \(x \lt 0\)).

Per un’introduzione storico-scientifica ed una chiara sintesi dei vari aspetti della teoria TK si consiglia l’articolo di Roberto Chiappi (R7) pubblicato su Matematicamente.it. Mentre per uno studio approfondito si possono consultare i libri (R8, R9, R10) riportati nei RIFERIMENTI.

La Prospect Theory, frutto di molti anni di riflessione e lavoro collaborativo da parte dei due abili psicologi, ha creato un nuovo campo di indagine economica, l’economia comportamentale. Per questi risultati nel 2002 Daniel Kahnemann ha ottenuto, insieme all’economista Vernon Smith, il premio Nobel per l’economia (Amos Tversky era scomparso alcuni anni prima, con grande rimpianto da parte dell’amico/collega).

Il mondo degli studiosi non è certo rimasto indifferente a questa nuova e rivoluzionaria teoria dell’utilità e vi sono stati diversi studi sperimentali per convalidare-falsificare la teoria. In particolare vogliamo citare un articolo del 2013 di autori slovacchi (R5) che hanno replicato i test e rifittato i parametri della teoria. Nel loro articolo è presente un’ampia tabella riassuntiva dei parametri delle loro indagini, accanto a quelli degli studi di altri dieci ricercatori pubblicate nel periodo 1992-2013. In sostanza i parametri delle varie ricerche, pur essendo un po’ diversi tra di loro, sono piuttosto ben allineati in intervalli di limitata dimensione. La variabilità dei valori dei parametri è pienamente giustificata dalla diversità dei test ed anche dalla diversità statistica del campione di persone partecipanti ai test. La Prospect Theory è dunque solida e credibile.

Proviamo ora a vedere qualche applicazione a casi pratici, che ci aiuteranno a capire la logica della teoria e la sua applicazione.

Ci rendiamo conto che paragonare il guadagno atteso $x$ (teoria classica) con l’utilità $P$ attesa dal guadagno $x$ (TK) non è un metodo molto coerente, ma questo è quanto si può fare.

Esempio 1

Ad una persona vengono proposte due alternative:

A: vincita certa (p=1) di 600

B: vincita di 1000 con p = 0.6 o vincita nulla con p = 0.4

Dal punto di vista della teoria classica le due alternative si equivalgono e il guadagno vale \(xA = 600 = xB= 0.6 \ast 1000= 600\)

Mentre secondo la Prospect Theory si ottiene il risultato di questo diagramma:

Esempio 1 - Prospect Theory

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Dove si vede che l’alternativa certa (A, punto verde) l’utilità vale 278, mentre per l’altra (B, punto rosso) l’utilità vale 207. Conclusione: la certezza è preferita.

Esempio 2

Consideriamo lo stesso problema capovolto. Qui non ci sono guadagni, ma solo perdite.

A: perdita certa (p=1) di 600

B: perdita di 1000 con p=0.6 oppure nessun perdita con p=0,4

Anche in questo caso per la teoria classica le due situazioni si equivalgono \(xA =-600 =xB = -1000 \ast 0.6=-600\)

Ma secondo la Prospect è ben diverso, come appare sotto:

Esempio 2 - Prospect Theory

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Si vede molto chiaramente che in termini di utilità l’alternativa rischiosa B (verde), che vale -509 è di gran lunga preferita alla alternativa certa A (rosso) che vale -626.

Mettendo insieme i risultati degli esempi 1 e 2 si conclude che, a pari bilancio economico, in caso di guadagno il giocatore preferisce la certezza, mentre in caso di perdita preferisce correre il rischio, nella speranza di ridurre la perdita.

Esempio 3

In questo caso ci sono due scommesse alternative.

A: guadagno 800 con p =0.2 vs guadagno nullo con p=0.8

B: guadagno 200 con p = 0.8 vs guadagno nullo con p=0.2

In termini di guadagno atteso abbiamo: \(xA = 0.2 \ast 800 = 160, xB = 0.8 \ast 200 = 160\)  e quindi si ha pari guadagno. In termini di utilità $P$ la cosa è ben diversa: $PA =94$ (verde) mentre $PB = 64$ (rosso), quindi $A$ produce utilità di quasi il 50% superiore a $B$.

Esempio 3 - Prospect Theory

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Come avviene un fatto del genere? Perché la teoria prevede, in linea con i dati sperimentali, che a bassi valori di p risulta \(w(p) \gt p\), mentre ad alti valori di $p$ risulta \(w(p) \lt p\). Questo vale sia nel ramo $P$ dei guadagni, oggetto di questo esempio, sia nel ramo $P$ delle perdite.

Esempio 4

Qui abbiamo un giocatore che prima partecipa ad una scommessa con guadagno e immediatamente dopo ad una scommessa con perdita.

A: guadagno 500 con p=0.5 vs guadagno nullo con p=0.5

B: perdita 500 con p=0.5 vs perdita nulla con p=0.5

Secondo la teoria classica \(xA = 0.5 \ast 500 = 250, xB = -0.5 \ast 500 = -250\). Bilancio complessivo $= +250-250 = 0$. In termini di guadagno atteso il giocatore termina in pareggio.
Secondo la Prospect il risultato è ben diverso ed è visualizzato da seguente grafico

Esempio 4 - Prospect Theory

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Lo step A (punto verde) vale $PA = 100$, mentre lo step B (punto rosso) vale $PB = -242$. Il bilancio globale di utilità vale $+100-242 = -142$ ed equivale a una sola scommessa con possibilità di perdere 274 con $p=0.5$ (punto beige). Il risultato è illuminante: in termini di utilità gli esiti delle due scommesse A e B non si compensano affatto. Dal punto di vista psicologico la perdita (punto rosso) ha un effetto molto più profondo della vittoria della stessa somma realizzata pochi istanti prima. Il giocatore si allontana insoddisfatto.

Tutti i calcoli sono riportati nel file EXCEL associato all’articolo.

APPENDICE

È forse un caso ma la struttura della Prospect Theory è compatibile con le funzioni di utilità di Cobb-Douglas. La funzione proposta da questi autori, che si applica a diversi campi dell’economia, ha la seguente forma (R11):

\[ U = \prod x_i^{\alpha_i} \]

Nel caso dell’utilità $x_i$ sono le quantità di beni di consumo appartenenti ad un pacchetto di interesse per l’individuo. Se assumiamo come caso particolare una solo bene, il guadagno, la funzione si semplifica in: \[ U = x^\alpha \]

Che sostanzialmente coincide con la funzione $v(x)$ di TK.

RIFERIMENTI

 

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