Integrali impropri

Luca Lussardi Appunti di Analisi I

Integrali impropri

Il concetto di integrale può essere esteso in modo opportuno a funzioni che non sono definite

e limitate su un intervallo chiuso e limitato di attraverso un calcolo di un limite: tale è la

R

definizione di integrale improprio o generalizzato.

Integrali impropri su semirette

→

Sia f : [a, +∞) una funzione integrabile secondo Riemann su ogni intervallo della forma

R

[a, c] con c > a; allora è ben definito c

Z f (x) dx

a

per ogni c > a. L’integrale improprio di f su [a, +∞) è definito come

+∞ c

Z Z

f (x) dx = lim f (x) dx.

c→+∞

a a

Si osservi che il limite nella formula precedente esiste sempre grazie alla monotonia della funzione

integrale; si dice che f è integrabile in senso improprio su [a, +∞) se tale limite è finito. In tal

caso talvolta si dice anche che l’integrale improprio

+∞

Z f (x) dx

a −∞

converge. Nel caso in cui il limite dato fosse +∞ o l’integrale improprio viene anche detto

positivamente o negativamente divergente rispettivamente.

−x

Sia f : [0, +∞) data da f (x) = e . Allora si ha

Esempio: +∞ c

Z Z −x −c

−

f (x) dx = lim e dx = lim (1 e ) = 1

c→+∞ c→+∞

0 0

−x

per cui l’integrale improprio di e su [0, +∞) converge.

Integrali impropri su intervalli aperti

→

Sia f : [a, b) una funzione integrabile secondo Riemann su ogni intervallo della forma [a, c]

R

con a < c < b; allora è ben definito c

Z f (x) dx

a

per ogni a < c < b. L’integrale improprio di f su [a, b) è definito come

b c

Z Z

f (x) dx = lim f (x) dx.

−

c→b

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