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Luca Lussardi Appunti di Analisi I
Nozioni di topologia in R
Intervalli
I principali sottoinsiemi di molto importanti per lo studio della struttura topologica di
R, R
stesso, sono gli intervalli. Si denota con
{x ∈ {x ∈ ≤
(a, b) = : a < x < b}, (a, b] = : a < x b}
R R
{x ∈ ≤ {x ∈ ≤ ≤
[a, b) = : a x < b}, [a, b] = : a x b}.
R R
Gli intervalli della forma (a, b) vengono anche detti aperti mentre gli intervalli della forma [a, b]
vengono anche detti chiusi; nei casi restanti l’intervallo non è nè aperto nè chiuso.
Una generalizzazione che coinvolge l’uso del simbolo dell’infinito si ha ponendo le seguenti
definizioni: {x ∈ {x ∈
(a, +∞) = : x > a}, (−∞, a) = : x < a}.
R R
Chiaramente definizioni analoghe valgono per gli intervalli della forma
[a, +∞), (−∞, a].
∞
Poichè non è un numero reale, non ha invece senso, in considerare intervalli della forma
R,
[−∞, a), [−∞, a], (a, +∞], [a, +∞].
Intorni; punti aderenti, di accumulazione e isolati
∈ ⊆
Sia dato x si dice che I è un intorno di x se esiste δ > 0 tale per cui si abbia
R; R − ⊆
(x δ, x + δ) I.
I è quindi intorno di x se E contiene tutti i punti sufficientemente vicini ad x.
⊆ ∈ ∩ 6 ∅.
Dato E si dice che x è punto aderente ad E se per ogni intorno I di x si ha I E =
R R
La nozione di aderenza risulta inadeguata allo scopo di selezionare quei punti x che sono vicini
⊆ ∈
ai punti di E. Sia dato E si dice che x E è un punto isolato per E se esiste un intorno I
R;
di x tale per cui si abbia \ {x}) ∩ ∅.
(I E =
⊆
Se x è punto aderente ad un insieme E ma non è isolato si dice anche che x è punto di
R
accumulazione per E; dunque si ha che x è di accumulazione per E se e solo se per ogni I intorno
di x si ha \ {x}) ∩ 6 ∅.
(I E = \ {x}.
In altre parole x è di accumulazione per E se x è aderente ad E ⊆
Si osservi che la definizione di punto aderente o di accumulazione per un insieme E non
R
presuppone che il punto appartenga ad E, cosa che invece si richiede per la definizione di punto
isolato.
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