Circonferenza e cerchio: definizioni e formule fondamentali per lo svolgimento degli esercizi

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In questo appunto di matematica si troveranno tutte le definizioni fondamentali riguardanti la circonferenza e il cerchio, con un focus sulle principali equazioni e formule.

Definizioni, proprietà e formule del cerchio e della circonferenza

Il primo step da compiere è sancire la differenza principale tra circonferenza e cerchio. La circonferenza è il luogo geometrico dei punti uniti da una caratteristica, ossia l'equidistanza da un punto fisso.

Esso viene chiamato centro della circonferenza e la distanza è definita raggio. Quest'ultima è importante per valutare se un punto appartiene, è interno o esterno a una circonferenza.

In particolare:

se la distanza dal punto al centro è uguale al raggio, il punto appartiene alla circonferenza
se la distanza dal punto al centro è minore del raggio, il punto è interno alla circonferenza
se la distanza dal punto al centro è maggiore del raggio, il punto è esterno alla circonferenza

Il cerchio è l'insieme dei punti interni alla circonferenza più la circonferenza stessa.
Oltre al raggio e al centro vi sono altri elementi fondamentali che possono essere distinti all'interno di questa figura. Essi sono:

la corda, ossia qualsiasi segmento che unisce due punti della circonferenza
il diametro, ossia una corda che passa per il centro (e che quindi unisce due punti della circonferenza opposti). I diametri sono corde dalla maggiore estensione possibile
l'arco di circonferenza, ossia una parte di circonferenza sottesa a una corda
il settore circolare, cioè la parte di piano compresa tra un arco e la corda che lo sottende

Per quanto riguarda la simmetria, la circonferenza ha infiniti assi di simmetria ortogonali: in particolare, lo sono tutte le rette passanti per il centro della circonferenza (ossia rette su cui è possibile definire dei diametri).
Affinché sia possibile risolvere la maggior parte degli esercizi, è necessario fornire delle formule capaci di calcolare la lunghezza della circonferenza (ossia il "contorno" del cerchio) e la misura dell'area del cerchio. Le due formule sono rispettivamente:

[math]2p=2\pi r[/math]

[math]a=\pi r^2[/math]

Nozioni teoriche sulla relazione tra retta e circonferenza

Supponiamo di avere una retta e una circonferenza. Le loro posizioni relative possono essere descritte attraverso tre casi distinti:

la retta può essere esterna alla circonferenza: in questo caso non hanno punti in comune e la distanza dalla retta al centro della circonferenza è maggiore del raggio della stessa
la retta può essere tangente alla circonferenza. In questo caso si ha un solo punto in comune, chiamato anche punto di tangenza. Il raggio che connette il centro della circonferenza con il punto di tangenza è perpendicolare alla retta
la retta può essere secante alla circonferenza, quando ci essa interseca la circonferenza in due punti ben distinti. In questo caso, la distanza dalla retta al centro della circonferenza è minore del raggio

Cosa sono gli angoli al centro e gli angoli alla circonferenza

Un'altra differenza fondamentale da comprendere è quella che intercorre tra gli angoli al centro e gli angoli alla circonferenza. In particolare:

si dice angolo al centro di una data circonferenza un angolo che ha il vertice nel centro della circonferenza
si dice angolo alla circonferenza un angolo che ha il vertice sulla circonferenza e i lati secanti o tangenti la circonferenza

C'è una relazione tra specifici angoli al centro e angoli alla circonferenza. Si può dimostrare, infatti, che , per una data circonferenza, l'angolo al centro che insiste su un determinato arco è il doppio di tutti gli angoli alla circonferenza che insistono sullo stesso arco. Da quest'affermazione discende che:

gli angoli alla circonferenza che insistono sullo stesso arco sono uguali
ogni triangolo rettangolo che risulta inscritto in una semicirconferenza è rettangolo

Come definire una circonferenza all'interno del piano cartesiano

Per affrontare alcune tipologie di esercizi è fondamentale inserire la circonferenza in un piano cartesiano. Per fare ciò è necessario fissare il centro della circonferenza e la lunghezza del raggio: date queste due quantità, è possibile scrivere l'equazione della circonferenza.
Definito

[math]C(\alpha,\beta)[/math]

il centro della circonferenza ed

[math]r[/math]

la lunghezza del raggio, l'equazione della circonferenza è

[math](x-\alpha)^2+(y-\beta)^2=r^2[/math]

. Sviluppando i quadrati si ottiene un'equazione del tipo

[math]x^2+y^2+ax+by+c=0[/math]

Ecco qualche esempio pratico di scrittura dell'equazione della circonferenza:

se il centro è
[math]C(1,2)[/math]
e il raggio
[math]r[/math]
è 3, l'equazione è
[math](x-1)^2+(y-2)^2=3^2[/math]
, che diventa
[math]x^2-2x+1+y^2-4y+4=9[/math]
e poi
[math]x^2+y^2-2x-4y-4=0[/math]
se
[math]A(1,-3)[/math]
e
[math]B(5,1)[/math]
sono due punti della circonferenza allora il raggio è uguale alla metà del segmento che li unisce (che è pari a un diametro). Quindi
[math]r=\frac{1}{2} AB=\frac{1}{2}\sqrt{(5-1)^2+(1+3)^2}=2\sqrt2[/math]

Quali sono le posizioni relative all'asse verticale di due circonferenze

Considerate due circonferenze su uno stesso piano, esse possono assumere diverse posizioni reciproche l'una rispetto all'altra. Supponiamo che

[math]d[/math]

sia la distanza tra i due centri delle circonferenze,

[math]R[/math]

è il raggio della circonferenza maggiore e

[math]r[/math]

quello della circonferenza minore. In particolare si può dire che:

le due circonferenze sono esterne l'una rispetto all'altra se
[math]d>R+r[/math]
le due circonferenze sono tangenti esternamente se la distanza tra i loro centri è uguale alla somma dei loro raggi
[math]d=R+r[/math]
le circonferenze sono secanti in due punti distinti se
[math]R-r<d<R+r[/math]
le circonferenze sono tangenti internamente se
[math]d=R-r[/math]
le circonferenze sono l'una interna all'altra se
[math]d<R-r[/math]