Fasci di rette

Definizioni

Definizione 1: Fascio improprio di rette

Data una retta ? passante per l'origine, si chiama fascio improprio di rette di retta base ? l'insieme costituito da tutte le rette del piano parallele a ?. Se ?: ?=??, l'equazione del fascio è [ Phi: y = mx + k ]

con ? parametro reale.

Definizione 2: Fascio proprio di rette

Dato un punto ? fissato, si chiama fascio proprio di rette di punto base (o centro) ? l'insieme costituito da tutte le rette del piano passanti per ?.

Se

, l'equazione del fascio è [ Phi: (y-y_0) = m (x-x_0) ]

con ? parametro reale.

Osservazione 1: L'equazione data nella definizione 1 è inadatta a rappresentare il fascio di rette parallele all'asse delle ?, poichè in questo caso ? non può essere scritta nella forma

. D'altro canto tale fascio ha naturalmente equazione , con ? reale.

Osservazione 2: L'equazione data nella definizione 2 è inadatta a rappresentare una delle rette del fascio, quella passante per ? e parallela all'asse delle ?, avente equazione ( x = x_0 ). Questo fatto, di cui occorre tenere conto nel corso della risoluzione degli esercizi, è dovuto al fatto che in questo caso dovrebbe essere ( m = infty ).

Osservazione 3: Mentre tutte le rette appartenenti a un fascio proprio condividono un punto, tutte quelle di un fascio improprio condividono una direzione. La denominazione "improprio" data al secondo tipo di fascio è dovuta al fatto che la direzione di una retta, nell'ambito della geometria proiettiva, viene identificata con un punto della retta stessa posto all'infinito, detto appunto punto improprio. Con tale convenzione, in qualche modo anche le rette di un fascio improprio condividono un punto, ma questo non appartiene al piano cartesiano.

Osservazione 4: Una retta che sia ortogonale (rispettivamente, parallela o incidente) a una retta di un fascio improprio e ortogonale (rispettivamente, parallela o incidente) anche a tutte le altre. Questo è conseguenza del fatto che tali proprietà dipendono solo dal valore del coefficiente angolare, che per un fascio improprio è fissato.

Osservazione 5: Data una qualsiasi retta non passante per il centro di un fascio proprio di rette, è possibile trovare una retta del fascio ad essa ortogonale ed una ad essa parallela. Quest'ultima retta è anche l'unica del fascio che non interseca la retta data all'inizio.

Esempi

Esempio 1: Si trovi la retta del fascio ( Phi: y = 3x + k ) passante per il punto .

Dal momento che le rette appartenenti a un fascio, proprio o improprio, ricoprono tutto il piano, è sempre possibile risolvere un esercizio di questo tipo. In questo caso il fascio è improprio, quindi stiamo cercando la retta parallela alla

passante per ?. Posto avremo

( frac{3}{4} = 3 + k Rightarrow k = frac{3}{4} - 3 = - frac{9}{4} )

cosicché la retta ricercata ha equazione ( y = 3x - frac{9}{4} ).

Esempio 2: Si trovino le rette del fascio ( Phi = frac{x}{2} + k ) distanti 1 dall'origine.

In questo caso adoperiamo la formula per calcolare la distanza di un punto da una retta:

[ d = frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}} ]

Come si ricorderà, in essa

sono le coordinate del punto in questione, nel nostro caso l'origine; i numeri ?,?,? sono invece i coefficienti della retta scritta in forma implicita, dunque per una generica retta del fascio ( Phi ) essi sono . Sostituendo

( 1 = frac{|k|}{\sqrt{frac{1}{4}+1}} = frac{2|k|}{\sqrt{5}} Rightarrow |k| = frac{\sqrt{5}}{2} Rightarrow k = pm frac{\sqrt{5}}{2} )

Le rette trovate sono perciò due: ( y = frac{x}{2} + frac{\sqrt{5}}{2} ) e ( y = frac{x}{2} - frac{\sqrt{5}}{2} ) . Questo è un risultato generale: se infatti una retta si trova a distanza ? da un punto fissato ?, certamente anche la sua simmetrica rispetto a ? si trova alla stessa distanza; le due rette ottenute sono inoltre parallele, quindi appartengono allo stesso fascio improprio.

Esempio 3: Si trovi il centro del fascio proprio ( Phi: y = mx + 3 ) e la retta di ( Phi ) ortogonale a quella di equazione ( r: y + 5 = frac{x}{3} - 9 ).

Per trovare il centro del fascio possiamo agire in due modi diversi. Il primo di essi consiste nello scegliere due valori qualsiasi di ?, trovare le rette risultanti e intersecarle: il punto ottenuto sarà certamente il centro del fascio, poiché esso è l'unico punto condiviso da tutte le rette di ( Phi ). Un metodo più semplice consiste invece nel cercare di trasformare l'equazione del fascio in una avente la forma data dalla definizione 2, onde dedurre

e . Per far ciò separiamo gli addendi con ? da quelli senza ?, e mettiamo in evidenza:

( y - 3 = mx Rightarrow y - 3 = m (x - 0) Rightarrow C(0, 3) )

Una retta che sia ortogonale a ? avrà coefficiente angolare ( m = - frac{1}{m_r} = -frac{1}{frac{1}{3}} = -3 ). Così, la retta del fascio ad essa perpendicolare sarà ( y = -3x + 3 ).

Altro materiale di supporto

Videolezioni di geometria analitica