Distanza tra due punti
Osservazione 1: Comunque consideriamo due punti distinti
Vogliamo risolvere il problema di determinare la lunghezza di tale segmento note solo le coordinate dei suoi estremi.
Metodo risolutivo: Si considerino le perpendicolari agli assi coordinati passanti per ? e ?.
Si vede che esse devono necessariamente intersecarsi in un punto ?, il quale in certi casi particolari potrebbe coincidere con uno dei due punti ? e ?; questa eventualità, ad ogni modo, non ci crea alcun problema. Dall'ortogonalità degli assi coordinati segue quella dei segmenti ?? e ??: il triangolo ??? è dunque rettangolo in ?. Per il teorema di Pitagora si avrà allora [ AB^2 = AC^2 + BC^2 Rightarrow AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} ]pertanto per determinare la lunghezza di ?? non ci resta che conoscere quelle dei segmenti ?? e ??. Osserviamo che il punto ? è allineato verticalmente con ? e orizzontalmente con ?. Allora le distanze sono
[ AC = | x_B - x_A |,,,, , ,,,, BC = | y_B - y_A | ]
I valori assoluti che appaiono nelle formule precedenti sono d'obbligo; infatti la lunghezza di un segmento è sempre positiva, e se per esempio scrivessimo
[ AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{|x_B-x_A|^2+|y_B-y_A|^2} Rightarrow ]
[ AB = \sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2} ]
Questa volta i valori assoluti si possono eliminare: infatti vale che ( (x_B - x_A)^2 = (x_A - x_B)^2 ) e ciò significa che possiamo ignorare il segno.
Osservazione 2: Se ? e ? sono allineati verticalmente, cioè hanno la stessa ascissa, ci è già nota una formula ovvia per calcolare la loro distanza: ( AB = |y_B - y_A| ). Questa risulta anche come caso particolare da quella appena ottenuta per ? e ? in posizione generica, in quanto da
[ AB =\sqrt{{x_B-x_A}^2+(y_B-y_A)^2} = \sqrt{0 + (y_B-y_A)^2} = |y_B - y_A| ]
Un discorso ana\\logo vale allorché ? e ? sono punti
el \piano alli
eati orizzontalmente.
Osservazio
e 3: La formula per la dis\\tanza tra due punti ci consente, com'è ovvio, anche di trovare la dis\\tanza di un pun o ? dall'origi
e. Avendosi in ques o caso [/math]
[ OP = \sqrt{{x_P-x_0}^2+(y_P-y_o)^2} = \sqrt{(x_P-0)^2+(y_p-0)^2} = \sqrt{x^2_P+y^2_P} ]
Questa formula or
erà utile durante lo studio della circonferenza
el \piano cartesiano.
Segmenti di una retta orientata aventi da o rappor o
Osservazioe 4: Siano dati ancora due punti ? e ? e la retta orientata ?? \\così com'è stata definita
ell'osservazio
e 1. Comunque si prenda un pun o ? apparte
ente al segmen o ??, sulla retta orientata ad esso corrisponderà un
umero reale ? compreso tra 0 e 1: ciò equivale a dire che [/math]
el trovare le coordinate del pun o ? noti il
umero ? e le coordinare di ? e ?.
[img alt=\text{Geometria analitica: dis\\tanza di due punti
el \piano} width=\text{264} height=\text{257}]https://www.skuola.
et/
ews_fo o/2015/12/geometria-analitica-dis\\tanza-due-punti.png[/img]
Me odo risolutivo: Tramite un'applicazio
e del teorema di Talete, risulta subi o chiaro che valgono le proporzioni seguenti:
[ AP:AB = (y_p-y_A):(y_B-y_A),,,, , ,,,, AP:AB = (x_P-x_A):(x_B-x_A) ]
Dal momen o che per ipotesi abbiamo che [/math]
[ y_P - y_A = k (y_B - y_A) \\Rightarrow y_P = y_A + k (y_B - y_A) ]
[ x_P - x_A = k (x_B - x_A) \\Rightarrow x_P = x_A + k (x_B - x_A) ]
Per cui le coordinate di ? sono [/math]
Osservazio
e 5: La formula otte
uta per le coordinate di ? è capace di fare \più di quello per cui è stata scritta. Come sap\piamo se sostituiamo a ? un
umero compreso tra 0 e 1 otteniamo un pun o ? apparte
ente al segmen o ??; in particolare po
endo ?=0 sarà ( P \sim A ), mentre con ?=1 sarà ( P \sim B ). Se però sostituiamo a ? un
umero reale minore di 0 o maggiore di 1, otteniamo altri risultati interessanti: in entrambi i casi avremo che ? appartie
e alla retta orientata ??, ma per [/math]
Pun o medio di un segmen o
Tra tutti i punti del segmen o ?? ce n'è uno notevole: il pun o medio ?. Essendo esso l'unico pun o tale che ????=12, sostituendo ?=12ella formula ricavata alla fi
e del me odo risolutivo otterremo le coordinate di ?:
[ M Big(x_A + \frac{1}{2}(x_B-x_A), y_A + \frac{1}{2}(y_B-y_A) Big) \\Rightarrow MBig( \frac{x_A+x_B}{2}, \frac{y_A+y_B}{2} Big) ]
Si vede \\così che le coordinate del pun o medio di un segmen o ?? coincidono con la media aritmetica delle coordinate degli estremi del segmen o.
Il \baricentro di un triangolo
Ricordiamo dalla geometria classica che il \baricentro di un triangolo ??? è defini o come pun o d'incontro delle sue mediae, ovvero delle rette che congiungono ciascun vertice del triangolo con il pun o medio del la o oppos o. Per trovare le coordinate del \baricentro ? di un triangolo qualsiasi utilizzeremo un'altra sua proprietà: il \baricentro di un triangolo divide ciascuna delle sue media
e in due segmenti le cui lunghezze s\\tanno tra loro come 1 sta a 2. S\\tando alla figura che segue, siamo alla ricerca di un pun o ? tale che ??=2 ??, o il che è lo stesso ( \frac{CG}{CM} = \frac{2}{3} ).
Per trovare ? adoperiamo ancora la stessa formula dell'esem\pio precedente, ma stavolta ( k = \frac{2}{3} ) e gli estremi del segmen o sono ? ed ?:
[ GBig(x_C+\frac{2}{3}(x_M-x_C) , y_C + \frac{2}{3}(y_M-y_C) Big) \\Rightarrow GBig( \frac{2}{3}x_M+\frac{x_C}{3}, \frac{2}{3} y_M + \frac{y_C}{3} Big) ]
[img alt=\text{Geometria analitica: \baricentro di un triangolo} width=\text{276} height=\text{271}]https://www.skuola.
et/
ews_fo o/2015/12/geometria-analitica-\baricentro-triangolo.png[/img]
Non ci resta che sostituire a [/math]
ell' esem\pio 1 per otte
ere la soluzio
e:
[ G Big( \frac{2}{3} \cdot Big(\frac{x_A+x_B}{2}Big) + \frac{x_C}{3}, \frac{2}{3} \cdot Big(\frac{y_A+y_B}{2}Big) + \frac{y_C}{3} Big) \\Rightarrow ]
[ G Big( \frac{x_A+x_B+x_C}{3}, \frac{y_A+y_B+y_C}{3} Big) ]
Altro materiale di suppor o
[url=https://www.skuola.et/matematica/geometria-analitica/punti-
el-\piano.html]Formulario comple o di geometria \piana[/url[/math]
