Definizioni
Definizione 1: Definizione di fattorialeSia dato un numero naturale ( ? gt 1 ). Si chiama ( n ) fattoriale e si indica con il simbolo ( n! ) il prodotto degli ( n ) numeri naturali strettamente positivi minori o uguali a ( n ). In formule:
[ egin{equation} n! = n cdot (n-1) cdot ldots cdot 3 cdot 2 cdot 1 label{eq1} end{equation} ]
Esempio 1: Consideriamo ad esempio il calcolo di ( 4! ). Dovendo esso consistere nel prodotto dei 4 numeri naturali positivi minori o uguali a 4, sar verificato che
[ 4! = 4 cdot 3 cdot 2 cdot 1 = 24 ]
Nello stesso modo avremo ad esempio ( 3!=6 ), oppure ( 5!=120 ).
Osservazione 1: Naturalmente segue dalla prima definizione data che ( 1!=1 ), poich il prodotto il cui unico fattore quel numero strettamente positivo minore o uguale a 1, cio 1 stesso.
Dalla definizione (ef{eq1} ) non si pu invece ricavare quanto valga ( 0! ); per convenzione, si assume che ( 0!=1 ). Ci motivato dal fatto che, essendo 1 lelemento neutro del prodotto, una moltiplicazione senza fattori si assume pari a 1, nello stesso modo in cui una somma senza addendi d come risultato 0.
Osservazione 2: Sia dato ( n ge 0 ). Dalla definizione (
ef{eq1} ) sappiamo che sono verificate entrambe le seguenti uguaglianze:
[ n! = n cdot (n-1) cdot ldots cdot 3 cdot 2 cdot 1 ]
[ (n+1)! = (n+1) cdot n cdot (n-1) cdot ldots cdot 3 cdot 2 cdot 1 ]
Facendo il rapporto della seconda sopra la prima e semplificando tutti i fattori comuni, otteniamo immediatamente che
[ frac{(n+1)!}{n!} = n + 1 Rightarrow (n+1)! = n! (n+1) ]
Questa formula, che esprime il fattoriale di un numero in termini del fattoriale del suo predecessore, torna spesso utile nel corso del calcolo di probabilit e combinazioni.
Definizione 2: Definizione di coefficiente binomiale
Siano dati un numero ( n ge 0 ) e un numero ( 0 le k le n ). Si chiama coefficiente binomiale di ( n ) su ( k ) e si indica con il simbolo (egin{pmatrix} n \ k end{pmatrix} ) il seguente prodotto di fattoriali:
( egin{pmatrix} n \ k end{pmatrix} = frac{n!}{k!(n-k)!} )
Osservazione 3: In virt delle supposizioni fatte sui numeri ( n ) e ( k ), siamo certi che nessuno dei fattoriali da calcolare per trovare il coefficiente binomiale di ( n ) su ( k ) sia di un numero negativo, quindi la computazione pu essere sempre effettivamente eseguita.
Esempio 2: Calcoliamo a titolo desempio il coefficiente binomiale di 7 su 5:
( egin{pmatrix} 7 \ 5 end{pmatrix} = frac{7!}{5!(7-5)!} = frac{7!}{5!cdot 2!} = frac{5040}{120cdot 2} = 21 )
Proviamo adesso a calcolare il coefficiente binomiale di 7 su 2:
( egin{pmatrix} 7 \ 2 end{pmatrix} = frac{7!}{5!(7-2)!} = frac{7!}{2!cdot 5!} = frac{5040}{2 cdot 120} = 21 )
Osservazione 4: Il lettore avr certamente osservato che i due coefficienti binomiali calcolati nel corso dellesempio 2 hanno dato lo stesso risultato. In effetti, questa una propriet generale che pu essere riassunta nella formula seguente:
( egin{pmatrix} n \ k end{pmatrix} = egin{pmatrix} n \ n - k end{pmatrix} )
Essa di facile dimostrazione. Siano dati infatti due numeri ( n ) e ( k ) tali da soddisfare le richieste della definizione 2; allora anche ( n ) e ( n - k ) sono in grado di soddisfare tali richieste, ed entrambi i coefficienti binomiali considerati nella formula sono in effetti ben definiti. Per quanto poi riguarda luguaglianza, basta osservare che
( egin{pmatrix} n \ k end{pmatrix} = frac{n!}{k!(n-k)!} = frac{n!}{(n-k)!k!} = frac{n!}{(n-k)![n-(n-k)]!} egin{pmatrix} n \ n - k end{pmatrix} )
Osservazione 5: Vogliamo adesso provare unaltra propriet fondamentale del coefficiente binomiale, ovvero che ( egin{pmatrix} n \ n end{pmatrix} = 1 ). Per farlo occorre solamente ricorrere alla definizione 2 e svolgere i calcoli:
[ egin{pmatrix} n \ n end{pmatrix} = frac{n!}{n!(n-n)!} = frac{n!}{n!cdot 0!} = frac{n!}{n!} = 1mbox{, } ,,, forall n ]
Abbiamo naturalmente adoperato anche il risultato dellosservazione 1 in virt del quale il fattoriale di 0 pari a 1. Si osservi che tale propriet implica in particolare che ( egin{pmatrix} 1 \ 1 end{pmatrix} = egin{pmatrix} 0 \ 0 end{pmatrix} = 1 ); unendo poi tale risultato con quello dellosservazione 4, ricaviamo che vale pure ( egin{pmatrix} n \ 0 end{pmatrix} = 1).
Osservazione 6: Analizziamo unultima propriet elementare del coefficiente binomiale:
[ egin{pmatrix} n+1 \ k+1 end{pmatrix} =egin{pmatrix} n \k end{pmatrix} +egin{pmatrix} n \ k+1 end{pmatrix} ]
Essa consente di ricondurre il calcolo di un coefficiente binomiale del numero ( n + 1 ) in due relativi al numero ( n ). Questo pu non parere un fatto di grande aiuto, ma invece teoricamente importante: esso consente infatti di ragionare per induzione per quanto riguarda la dimostrazione di altre propriet del coefficiente binomiale. La dimostrazione di questa formula procede senza intoppi secondo la definizione:
( egin{pmatrix} n+1 \ k+1 end{pmatrix} = frac{(n+1)!}{(k+1)![(n+1)-(k+1)]!} = frac{(n+1)n!}{(k+1)k!(n-k)!} )
(egin{pmatrix} n \ k end{pmatrix} +egin{pmatrix} n \ k+1 end{pmatrix} = frac{n!}{k!(n-k)!} + frac{n!}{(k+1)!(n-k-1)!} = frac{n!}{k!(n-k-1)!(n-k)} + frac{n!}{k!(k+1)(n-k-1)!} = )
( frac{n!}{k!(n-k-1)!} Big( frac{1}{n-k}+frac{1}{k+1}Big) = frac{n!}{k!(n-k-1)!} cdot frac{(n+1)}{(n-k)(k+1)} = frac{(n+1)n!}{(k+1)k!(n-k)!} )
Nelle due formule non abbiamo adoperato altro che la definizione 2 e la propriet del fattoriale di cui allosservazione 2. Confrontando i due risultati ottenuti, risulta chiara la loro uguaglianza e dunque la validit della propriet da dimostrare.
