Sintesi
Definizione di discontinuità di prima specie
Definizione 1: Discontinuità di prima specie.
Sia
[math]f(x)[/math]
una funzione di dominio [math]D \subset \mathbb{R}[/math]
discontinua in [math]c[/math]
. Tale punto [math]c[/math]
si dice essere una discontinuità di prima specie per [math]f(x)[/math]
qualora risulti[math] \displaystyle l_1 = \lim_{x \rightarrow c^{-}} f(x) \text{ , } l_2 = \lim_{x\rightarrow c^{+}} f(x) \text{ , } l_1 \ne l_2 [/math]
Definizione 2: Salto di una funzione in un punto.
Sia
[math]f(x)[/math]
una funzione avente in [math]c[/math]
una discontinuità di prima specie. Si definisce salto di [math]f(x)[/math]
in [math]c[/math]
il numero reale[math] |l_1 - l_2 | [/math]
Osservazione 1: Le formule (1) richiedono, più esplicitamente, che i limiti destro e sinistro della funzione nel punto
[math]c[/math]
esistano, siano finiti e differenti tra loro. Perché ci avvenga non è necessario che la funzione sia definita in [math]c[/math]
, ma basta solamente che [math]c[/math]
sia un punto di accumulazione per il dominio [math]D[/math]
. Anche se [math]c \in D[/math]
, la definizione 1 è indipendente dal valore di [math]f(c)[/math]
.Osservazione 2: Se la funzione
[math]f(x)[/math]
ha una discontinuità di prima specie in [math]c[/math]
, il salto che la funzione presenta in tale punto è strettamente positivo. Infatti, dal momento che per la (1) risulta [math]l_1
e l_2 [/math]
, necessariamente sarà e l_2 [/math]
[math]|l_1 - l_2| e 0 [/math]
; poiché però già è noto che [math]|l_1 - l_2| \ge 0[/math]
non può che risultare [math]|l_1 - l_2| \gt 0[/math]
.Esempi di funzioni con discontinuità di prima specie
Esempio 1: Funzione definita nella discontinuità.
Consideriamo la funzione
[math]y = \frac{x}{|x|}[/math]
, chiamata segno di [math]x[/math]
e indicata comunemente con il simbolo [math]\text{sgn}(x)[/math]
. Il suo grafico è rappresentato nell'immagine sottostante, dal quale risulta evidente la presenza di una discontinuità di prima specie nel punto ( x = 0). Verifichiamolo, applicando le formule della (1):[math] \displaystyle l_1 = \lim_{x\rightarrow 0^{-}} \text{sgn}(x) = \lim_{x \rightarrow 0^{-}} \frac{x}{|x|} = \lim_{x\rightarrow 0^{-}} \frac{x}{-x} = -1 ][/math]
[math] \displaystyle l_2 = \lim_{x\rightarrow 0^{+}} \text{sgn}(x) = \lim_{x\rightarrow 0^{+}} \frac{x}{|x|} = \lim_{x \rightarrow 0^{+}} \frac{x}{x} = 1 [/math]
[math] \displaystyle l_1 = -1 e 1 = l_2[/math]
Nella prima, dal momento che
[math]x \lt 0[/math]
, possiamo dire che [math]|x| = -x[/math]
e fare la sostituzione; nello stesso modo, poiché nel secondo caso vale [math]x \gt 0[/math]
, possiamo sostituire [math]|x|[/math]
con [math]x[/math]
. Dal momento che i limiti destro e sinistro della funzione in [math]0[/math]
esistono entrambi e sono distinti, allora [math]\text{sgn}(x)[/math]
ha effettivamente una discontinuità di prima specie in [math]0[/math]
. Possiamo anche calcolarne il salto:[math]|l_1 - l_2| = |(-1) - (1)| = | -2| = 2[/math]
Come si è visto, tutti i calcoli che abbiamo svolto fin qui sono stati indipendenti dal valore che la funzione assume per
[math]x = 0[/math]
, e addirittura dal fatto che tale punto appartenga o no al suo dominio. Ad ogni modo, si soliti definire [math]\text{sgn}(0) = 0[/math]
, e per questo motivo nel grafico abbiamo indicato [math](0, 0)[/math]
con un punto pieno e [math](0, \pm 1)[/math]
con due punti vuoti, secondo la solita convenzione.Esempio 2: Funzione definita da un solo lato della discontinuità.
Si osservi adesso il grafico seguente:
Esso appartiene alla funzione parte intera di
[math]x[/math]
), comunemente indicata per mezzo della dicitura anglosassone [math]\text{floor}(x)[/math]
, nel significato di pavimento. Essa associa a ogni numero reale [math]x[/math]
il più grande numero intero minore o uguale ad [math]x[/math]
, in maniera tale che ad esempio [math]\text{floor}(2.5) = 2[/math]
, [math]\text{floor}(3) = 3[/math]
, [math]\text{floor}(-0.47) = -1[/math]
. Vogliamo verificare che la parte intera di [math]x[/math]
possiede infinite discontinuità di prima specie, corrispondenti a tutti i punti [math]z \in \mathbb{Z}[/math]
; a questo scopo fissiamo un intero [math]z[/math]
e applichiamo le formule in (1):[math] \displaystyle l_1 = \lim_{x\rightarrow z^{-}} \text{floor}(x) = z - 1 [/math]
[math] \displaystyle l_2 = \lim_{x\rightarrow z^{+}} \text{floor}(x) = z [/math]
[math] \displaystyle l_1 = z - 1 \ne z = l_2 \rightarrow |l_1 - l_2| = |(z - 1) - (z)| = |-1| = 1 [/math]
Il primo dei due limiti considerati d come risultato
[math]z - 1[/math]
perché qualsiasi successione che converga a [math]z[/math]
da sinistra dovrà definitivamente avere valori [math]x[/math]
tali che [math]z - x \lt 1[/math]
, e per tutti quegli [math]x[/math]
risulta [math] \text{floor}(x) = z - 1[/math]
. Un ragionamento del tutto analogo spiega il risultato del secondo limite.Ancora una volta il risultato stato ottenuto indipendentemente dal valore della funzione nella discontinuità, secondo quanto detto nell'osservazione 1. In questo caso
[math]D = \mathbb{R}[/math]
e le discontinuità appartengono dunque al dominio: per ogni numero intero [math]z \in \mathbb{Z}[/math]
vale infatti [math]\text{floor}(z) = z [/math]
.Esempio 3: Funzione non definita nella discontinuità.
Osserviamo infine il grafico della funzione
[math]y = \arctan(1/x)[/math]
, rappresentato qui di seguito:
Il suo dominio è
[math]D = \mathbb{R} - {0}[/math]
, e in esso la funzione risulta continua; dal momento che [math]0[/math]
non appartiene al dominio, in tal punto la funzione non assume valore. Verifichiamo come al solito l'esistenza di una discontinuità di prima specie nel punto, e calcoliamo il salto della funzione:[math] \displaystyle l_1 = \lim_{x\rightarrow 0^{-}} \arctan(\frac{1}{x}) = \lim_{z\rightarrow -\infty} \arctan z = -\frac{\pi}{2} [/math]
[math] \displaystyle l_2 = \lim_{x\rightarrow 0^{+}} \arctan(\frac{1}{x}) = \lim_{z \rightarrow +\infty} \arctan z = \frac{\pi}{2} [/math]
[math] \displaystyle l_1 = - \frac{\pi}{2} e \frac{\pi}{2} = l_2 \rightarrow |l_1 - l_2| = \Big|\Big(-\frac{\pi}{2}\Big)-\Big(\frac{\pi}{2}\Big)\Big| = |-\pi| = \pi [/math]
Nella risoluzione dei due limiti intervenuto un cambio di variabile: in entrambi i caso si posto
[math]x = / z[/math]
.
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