Discontinuità di prima specie

Definizione di discontinuità di prima specie

Definizione 1: Discontinuità di prima specie.

Sia \( f(x) \) una funzione di dominio \( D \subset \mathbb{R} \) discontinua in \( c \). Tale punto \( c \) si dice essere una discontinuità di prima specie per \( f(x) \) qualora risulti

\[\begin{equation} l_1 = \lim_{x \rightarrow c^{-}} f(x)\text{    ,    } l_2 = \lim_{x\rightarrow c^{+}} f(x) \text{    ,    } l_1 \ne l_2 \label{eq1}\end{equation}\]

Definizione 2: Salto di una funzione in un punto.

Sia \( f(x) \) una funzione avente in \( c \) una discontinuità di prima specie. Si definisce salto di \( f(x) \) in \( c \) il numero reale

\[ |l_1 – l_2 | \]

 

Discontinuità a salto

 

Osservazione 1: Le formule (1) richiedono, più esplicitamente, che i limiti destro e sinistro della funzione nel punto \( c \) esistano, siano finiti e differenti tra loro. Perché ciò avvenga non è necessario che la funzione sia definita in \( c \), ma basta solamente che \( c \)  sia un punto di accumulazione per il dominio \( D \). Anche se \( c \in D \), la definizione 1 è indipendente dal valore di \( f(c) \).

Osservazione 2: Se la funzione \( f(x) \) ha una discontinuità di prima specie in \( c \), il salto che la funzione presenta in tale punto è strettamente positivo. Infatti, dal momento che per la (1) risulta \( l_1 \ne l_2 \), necessariamente sarà \( |l_1 – l_2| \ne 0 \); poiché però già è noto che \( |l_1 – l_2| \ge 0 \) non può che risultare \( |l_1 – l_2| \gt 0 \).

 

Esempi di funzioni con discontinuità di prima specie

Esempio 1: Funzione definita nella discontinuità.

Consideriamo la funzione \( y = \frac{x}{|x|}\), chiamata segno di \( x \) e indicata comunemente con il simbolo \( \text{sgn}(x) \). Il suo grafico è rappresentato nell’immagine sottostante, dal quale risulta evidente la presenza di una discontinuità di prima specie nel punto \( x = 0\). Verifichiamolo, applicando le formule della (1):

\[ l_1 = \lim_{x\rightarrow 0^{-}} \text{sgn}(x) = \lim_{x \rightarrow 0^{-}} \frac{x}{|x|} = \lim_{x \rightarrow 0^{-}} \frac{x}{-x} = -1 \]

\[ l_2 = \lim_{x\rightarrow 0^{+}} \text{sgn}(x) = \lim_{x\rightarrow 0^{+}} \frac{x}{|x|} = \lim_{x \rightarrow 0^{+}} \frac{x}{x} = 1 \]

\[ l_1 = -1 \ne 1 = l_2 \]

Nella prima, dal momento che \( x \lt 0 \), possiamo dire che \( |x| = -x \) e fare la sostituzione; nello stesso modo, poiché nel secondo caso vale \( x \gt 0 \), possiamo sostituire \( |x| \) con \( x \). Dal momento che i limiti destro e sinistro della funzione in \( 0 \) esistono entrambi e sono distinti, allora \( \text{sgn}(x) \) ha effettivamente una discontinuità di prima specie in \( 0 \). Possiamo anche calcolarne il salto:

\[ |l_1 – l_2| = |(-1) – (1)| = | -2| = 2 \]

 

Discontinuità di prima specie

 

Come si è visto, tutti i calcoli che abbiamo svolto fin qui sono stati indipendenti dal valore che la funzione assume per \( x = 0 \), e addirittura dal fatto che tale punto appartenga o no al suo dominio. Ad ogni modo, si è soliti definire \( \text{sgn}(0) = 0 \), e per questo motivo nel grafico abbiamo indicato \( (0, 0) \) con un punto pieno e \( (0, \pm 1) \) con due punti vuoti, secondo la solita convenzione.

Esempio 2: Funzione definita da un solo lato della discontinuità.

Si osservi adesso il grafico seguente:

 

Grafico di funzione definita da un solo lato della discontinuità

 

Esso appartiene alla funzione parte intera di \( x \), comunemente indicata per mezzo della dicitura anglosassone \( \text{floor}(x) \), nel significato di “pavimento”. Essa associa a ogni numero reale \( x \) il più grande numero intero minore o uguale ad \( x \), in maniera tale che ad esempio \( \text{floor}(2.5) = 2 \), \( \text{floor}(3) = 3 \), \( \text{floor}(-0.47) = -1 \). Vogliamo verificare che la parte intera di \( x \) possiede infinite discontinuità di prima specie, corrispondenti a tutti i punti \( z \in \mathbb{Z} \); a questo scopo fissiamo un intero \( z \) e applichiamo le formule in (1):

\[ l_1 = \lim_{x\rightarrow z^{-}} \text{floor}(x) = z – 1 \]

\[ l_2 = \lim_{x\rightarrow z^{+}} \text{floor}(x) = z \]

\[ l_1 = z – 1 \ne z = l_2 \Rightarrow |l_1 – l_2| = |(z – 1) – (z)| = |-1| = 1 \]

Il primo dei due limiti considerati dà come risultato \( z – 1 \) perché qualsiasi successione che converga a \( z \) da sinistra dovrà definitivamente avere valori \( x \) tali che \( z – x \lt 1 \), e per tutti quegli \( x \) risulta \( \text{floor}(x) = z – 1 \). Un ragionamento del tutto analogo spiega il risultato del secondo limite.

Ancora una volta il risultato è stato ottenuto indipendentemente dal valore della funzione nella discontinuità, secondo quanto detto nell’osservazione 1. In questo caso \( D = \mathbb{R} \) e le discontinuità appartengono dunque al dominio: per ogni numero intero \( z \in \mathbb{Z} \) vale infatti \( \text{floor}(z) = z \).

Esempio 3: Funzione non definita nella discontinuità.

Osserviamo infine il grafico della funzione \( y = \arctan(1/x) \), rappresentato qui di seguito:

 

Grafico funzione arctg 1/x

 

Il suo dominio è \( D = \mathbb{R} – \{0\} \), e in esso la funzione risulta continua; dal momento che \( 0 \) non appartiene al dominio, in tal punto la funzione non assume valore. Verifichiamo come al solito l’esistenza di una discontinuità di prima specie nel punto, e calcoliamo il salto della funzione:

\[ l_1 = \lim_{x\rightarrow 0^{-}} \arctan(\frac{1}{x}) = \lim_{z \rightarrow -\infty} \arctan z = -\frac{\pi}{2} \]

\[ l_2 = \lim_{x\rightarrow 0^{+}} \arctan(\frac{1}{x}) = \lim_{z \rightarrow +\infty} \arctan z = \frac{\pi}{2} \]

\[ l_1 = – \frac{\pi}{2} \ne \frac{\pi}{2} = l_2 \Rightarrow |l_1 – l_2| = \Big|\Big(-\frac{\pi}{2}\Big)-\Big(\frac{\pi}{2}\Big)\Big| = |-\pi| = \pi \]

Nella risoluzione dei due limiti è intervenuto un cambio di variabile: in entrambi i caso si è posto \( x = \ / z \).

 

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