Discontinuità di terza specie

Definizione di discontinuità di terza specie

Definizione 1: Discontinuità di terza specie o eliminabile.

Sia \( f(x) \) una funzione di dominio \( D \in \mathbb{R} \)  discontinua in \( c \). Tale punto \( c \) si dice essere una discontinuità di terza specie o, il che è lo stesso, una discontinuità eliminabile per \( f(x) \), qualora i due limiti destro e sinistro della funzione nel punto esistono, sono finiti e coincidenti, ma \( f(c) \) è diverso dal valore del limite o non esiste.

\[ \lim_{x \rightarrow c^{-}} f(x) = \lim_{x \rightarrow c^{+}} f(x) = l \]

\[ f(c) \ne l \vee c \not\in D \]

Definizione 2: Prolungamento per continuità.

Sia \( f(x) \) una funzione dotata di una discontinuità eliminabile in \( c \). Si dice prolungamento per continuità di \( f(x) \) nel punto \( c \)  la funzione \( f_1(x) \) così definita:

\[ f_1(x) = \begin{cases} f(x) & \mbox{se } x \ne c \\ l & \mbox{se } x = c \end{cases} \]

 

Grafico funzione con discontinuità di terza specie

 

Osservazione 1: Il caso \( f(c) = l \) è escluso dalla definizione 1 perché se i due limiti fossero uguali e per giunta coincidessero con il valore della funzione nel punto, allora \( f(x) \) sarebbe una funzione continua in ?, contro la richiesta iniziale di discontinuità della definizione 1.

Osservazione 2: Questo tipo di discontinuità è anche detto “eliminabile” perché esso può essere appunto rimosso dalla funzione semplicemente ridefinendola nel punto \( c \) nel modo \( f(c) = l \), cioè sostituendo la \( f(x) \) con il suo prolungamento per continuità. È facile rendersi conto, usando l’osservazione 1, che \( f_1(x) \) è continua in \( c \); essa si distingue dalla funzione iniziale \( f(x) \) solo per il valore che assume nel punto \( c \). Si noti che una simile procedura di eliminazione della discontinuità è invece impossibile nel caso delle discontinuità di prima e seconda specie, poiché i limiti destro e sinistro della funzione in ? non sono uguali e finiti e dunque ? non è ben definito.

 

Esempi di funzioni con discontinuità di terza specie

Esempio 1: La funzione non è definita nel punto \( c \).

Consideriamo la funzione \( y = \frac{\sin x}{x} \), il cui grafico è rappresentato nella figura a sinistra.

 

Grafico funzione y=sinx/x ; discontinuità di terza specie

 

Dal momento che la \( x \) appare al denominatore, il punto \( c = 0 \) non appartiene al dominio \( D \) della funzione, che infatti è proprio \( D = \mathbb{R} – \{0\} \); ciò significa che \( f(0) \) non esiste. Secondo la definizione 1, per verificare che \( c = 0 \) sia una discontinuità di terza specie ci basta dunque solo far vedere che i due limiti esistono, sono finiti e coincidenti:

\[ \lim_{x \rightarrow 0^{-}} \frac{\sin x}{x} = 1 = \lim_{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\sin x}{x} \]

I limiti in questione si risolvono subito grazie alla conoscenza pregressa del limite notevole

\[ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x} = 1 \]

Per questo motivo la funzione esaminata ha effettivamente una discontinuità eliminabile in \( c=0 \), e quindi se ne può considerare il prolungamento per continuità. Esso è raffigurato nel grafico a destra, e la sua equazione, in virtù della definizione 2, è

\[ f_1(x) = \begin{cases}\frac{\sin x}{x} & \mbox{se } x \ne 0 \\ 1 & \mbox{se } x = 0 \end{cases} \]

 

Osservazione 3: Il caso esaminato nell’esempio 1 si verifica anche per le funzioni

\[ \frac{e^x – 1}{x} \mbox{,     } \frac{1-\cos x}{x^2} \mbox{,     } \frac{1 – \cos x}{x} \mbox{,    } \ldots \]

ovvero per tutti quei limiti notevoli che si presentano inizialmente nella forma \( \frac{0}{0} \) ma si riconducono poi a un risultato finito. Dal momento, infatti, che i limiti considerati esistono finiti, allora i limiti destro e sinistro delle suddette funzioni in \( c = 0 \) esistono anch’essi, e per di più sono finiti e coincidenti. Inoltre è chiaro che in questi casi si ha sempre \( c \not\in D \), visto che si presentano nella forma indeterminata \( \frac{0}{0} \).

Esempio 2: La funzione è definita nel punto \( c \).

Si prenda adesso in considerazione una funzione \( f(x\)  il cui valore sia sempre nullo per ogni numero reale, ad esclusione dei numeri interi, sui quali la funzione assume il valore 1:

\[ f(x) = \begin{cases}1 & \mbox{se } x \in \mathbb{Z} \\ 0 & \mbox{se } x \in \mathbb{R} – \mathbb{Z} \end{cases} \]

Il grafico di \( f(x) \) è rappresentato di seguito. Vogliamo far vedere che la funzione in esame è dotata di una quantità infinita di discontinuità di terza specie, esattamente coincidenti con i numeri interi. Sia dunque \( n \in \mathbb{Z} \); poiché in questo caso il dominio della funzione è \( D = \mathbb{R} \), il valore \( f(n) \) esiste e, stando alla definizione di \( f(x) \), risulta \( f(n) = 1 \). Calcoliamo adesso i limiti destro e sinistro di \( f(x) \) per \( x \rightarrow n \):

\[ \lim_{x \rightarrow n^{-}} f(x) = 0 = \lim_{x \rightarrow n^{+}} f(x) \Rightarrow l = 0 \]

Tali limiti sono entrambi uguali a 0 perché, dal momento che la distanza tra due numeri interi consecutivi è sempre uguale a 1, è possibile prendere una successione di punti reali convergente a \( n \) tutta costituita da numeri compresi nell’insieme \( (n-1, n) \cup (n, n+1) \), sui quali è certamente \( f(x) = 0 \). Perciò i limiti destro e sinistro di \( f(x) \) in \( n \) esistono, sono finiti, coincidenti tra loro e distinti dal numero \( f(n) \). Ciò prova che ogni \( n \in \mathbb{Z} \) è una discontinuità di terza specie per la nostra funzione \( f(x) \).

 

Grafico di funzione con discontinuità di terza specie o rimovibile

 

Questo ci consente di considerarne il prolungamento per continuità, che secondo quanto affermato dalla definizione 2 è

\[ f_1(x) = \begin{cases} l & \mbox{se } x \in \mathbb{Z} \\ 0 & \mbox{se } x \in \mathbb{R} – \mathbb{Z} \end{cases} \]

Dal momento però che in questo caso risulta \( l = 0 \), il prolungamento per continuità di \( f(x) \) è la funzione nulla su tutti i numeri reali, ovvero \( f(x) = 0 \).

 

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