Enunciato del teorema di Bolzano o degli zeri
Enunciato: Sia[math]f(x)[/math]
una funzione continua in un intervallo chiuso e limitato [math][a,b][/math]
, e risulti [math]f(a) f(b) \lt 0[/math]
. Allora esisterà almeno un punto [math]c[/math]
interno all'intervallo [math][a,b][/math]
tale che sia [math]f(c) = 0[/math]
.Osservazione 1: Dire che si ha
[math]f(a) f(b) \lt 0[/math]
è equivalente a dire che deve verificarsi una delle due seguenti condizioni
[math] \begin{equation} f(a) \lt 0 \mbox{, } f(b) \gt 0 \mbox{ oppure } f(a) \gt 0 \mbox{, } f(b) \lt 0 \label{eq1} \end{equation}[/math]
Ci si può riassumere dicendo che la funzione assume due valori di segno opposto ai punti estremi del suo intervallo di definizione e continuità.
Osservazione 2: Affermare che
[math]c[/math]
è interno all'intervallo chiuso e limitato [math][a,b][/math]
equivale a dire che [math]c \in (a, b)[/math]
, ovvero che [math]c \in [a, b][/math]
ma è distinto sia da [math]a[/math]
, sia da [math]b[/math]
. In altri termini, deve risultare [math]a \lt c \lt b[/math]
, dove le disuguaglianze sono da intendersi in senso stretto.Osservazione 3: Proviamo a produrci una semplice immagine mentale di ci che afferma l'enunciato. Consideriamo nel piano cartesiano i punti
[math]A(a, f(a))[/math]
e [math]B(b, f(b))[/math]
; grazie alla osservazione 1, sappiamo che uno di essi, diciamo [math]A[/math]
, si trova al di sotto dell'asse delle ascisse, mentre l'altro, nel nostro caso [math]B[/math]
, si trova nel semipiano delle [math]y[/math]
positive. Poiché la funzione [math]f(x)[/math]
è per ipotesi continua nell'intervallo [math][a,b][/math]
, il suo grafico consisterà in una linea curva di estremi i punti [math]A[/math]
e [math]B[/math]
, da tracciarsi senza alzare la matita dal foglio. Quale che sia il percorso che sceglieremo per congiungere [math]A[/math]
e [math]B[/math]
, esso dovrà necessariamente tagliare l'asse delle [math]x[/math]
in almeno un determinato punto [math]c[/math]
, nel quale risulterà [math]f(c) = 0[/math]
. Tale punto [math]c[/math]
è appunto quello di cui il teorema degli zeri predica l'esistenza.
Dimostrazione del teorema di Bolzano o degli zeri
Dimostrazione: In virtù dellosservazione 1, l'ipotesi che risulti[math]f(a) f(b) \lt 0[/math]
può essere ricondotta a una delle eventualità presentate in [math]1[/math]
. Per fissare le idee, supponiamo quindi che valga la prima di esse, cioé
[math] \begin{equation} f(a) \lt 0 \mbox{, } f(b) \gt 0 \label{eq2} \end{equation}[/math]
Nel caso dovesse invece presentarsi l'altra eventualità, la dimostrazione procederebbe in maniera del tutto analoga. Consideriamo l'insieme
[math]S[/math]
di tutti i punti [math]x[/math]
dell'intervallo chiuso e limitato [math][a,b][/math]
per i quali risulti [math]f(x) \lt 0[/math]
, ovvero
[math] S = {x \in [a, b] : f(x) \lt 0}[/math]
Per via della
[math]2[/math]
, risulta certamente [math]a \in S[/math]
, e quindi [math]S[/math]
è non vuoto. Inoltre l'insieme [math]S[/math]
è tale da ammettere maggioranti, visto che se [math]x \in S[/math]
certamente è pure [math]x \lt b[/math]
; dunque possiamo considerare l'estremo superiore [math]c[/math]
di [math]S[/math]
.Dal momento che
[math]f(b) \gt 0[/math]
, per il teorema della permanenza del segno esisterà [math]\epsilon \gt 0[/math]
tale che per ogni [math]x \in (b - \epsilon, b)[/math]
sarà [math]f(x) \gt 0[/math]
; ciò significa che [math](b - \epsilon, b) \cap S = \varnothing[/math]
. Se adesso fosse [math]c = b[/math]
, per le propriet dellestremo superiore dovrebbe risultare che ogni intorno sinistro di [math]b[/math]
, per quanto piccolo, dovrebbe contenere punti di [math]S[/math]
, contro quanto appena visto. Ne risulta che [math]c
e b[/math]
, e dunque e b[/math]
[math]c \lt b[/math]
.Ugualmente, poiché
[math]f(a) \lt 0[/math]
per il teorema della permanenza del segno esisterà [math]\epsilon \gt 0[/math]
tale che per ogni [math]x \in (a, a + \epsilon)[/math]
sia [math]f(x) \lt 0[/math]
. Quindi esistono punti di [math][a,b][/math]
strettamente maggiori di [math]a[/math]
appartenenti a [math]S[/math]
, il che sarebbe impossibile se risultasse [math]c = a[/math]
. Possiamo dedurne [math]c
\ne a[/math]
, il che implica \ne a[/math]
[math]a \lt c[/math]
; assieme alla disequazione ottenuta precedentemente abbiamo allora [math]a \lt c \lt b[/math]
, cio [math]c \in (a, b)[/math]
, come volevasi.Vogliamo adesso far vedere che
[math]f(c) = 0[/math]
, e concludere così la dimostrazione. Comunque scegliamo [math]\epsilon \gt 0[/math]
possiamo considerare gli intorni sinistro e destro [math](c - \epsilon, c)[/math]
e [math](c, c + \epsilon)[/math]
, i quali conterranno punti in cui [math]f(x)[/math]
definita e continua, visto che [math]c[/math]
è interno all'intervallo [math][a,b][/math]
. Per via delle proprietà dell'estremo superiore, l'intorno destro disgiunto da [math]S[/math]
, mentre quello sinistro ha con [math]S[/math]
intersezione non vuota: risulta perciò che [math](c - \epsilon, c + \epsilon)[/math]
contiene sempre sia punti dove [math]f(x) \gt 0[/math]
sia punti tali che [math]f(x) \lt 0[/math]
.Se fosse
[math]f(c) \gt 0[/math]
o [math]f(c) \lt 0[/math]
, per il teorema di permanenza del segno dovrebbe esistere un intorno così piccolo di [math]c[/math]
tale che tutti i punti ad esso appartenenti abbiano lo stesso segno, positivo nel primo caso e negativo nel secondo. Siccome abbiamo fatto vedere che così non è, allora necessariamente [math]f(c) = 0[/math]
. Ciò conclude la dimostrazione.Osservazione 4: Il teorema di Bolzano, che prende il nome dal matematico boemo Bernard Bolzano e non dalla città tirolese, è un teorema di esistenza: ciò significa che esso dimostra l'esistenza di un ente matematico con certe proprietà, ma non lo identifica con precisione. Nel nostro caso sappiamo che esiste
[math]c \in (a, b)[/math]
tale che [math]f(c) = 0[/math]
, ma non sappiamo dire esattamente dove [math]c[/math]
sia posizionato all'interno dell'intervallo. Altri metodi, come quello di bisezione o quello del punto unito, consentono di calcolare [math]c[/math]
arbitraria.
Esempi di applicazione del teorema di Bolzano o degli zeri
Esempio 1: funzione continua in un intervallo chiuso e limitato.Si consideri la funzione
[math]f(x) = x + \ln x[/math]
nell'intervallo chiuso e limitato [math]\Big[\frac{1}{e}, e\Big][/math]
, il cui grafico è rappresentato nell'immagine seguente. Si vuole verificare, tramite applicazione del teorema di Bolzano, che [math]f(x)[/math]
si annulla in almeno un punto interno al suddetto intervallo.
Per prima cosa calcoliamo
[math]f(a)[/math]
e [math]f(b)[/math]
, e controlliamo che [math]f(a) f(b) \lt 0[/math]
:
[math]f(a)f(b) = \Big(\frac{1}{e}+\ln\frac{1}{e}\Big)(e+\ln e) = \Big(\frac{1}{e}-1\Big)(e + 1) = \frac{(1-e)(e+1)}{e} = \frac{1-e^2}{e} \lt 0[/math]
La
[math]f(x)[/math]
è inoltre certo definita e continua nell'intervallo dato, dal momento che la sua unica discontinuità, che di seconda specie, viene assunta nel punto [math]x = 0[/math]
. Dunque il teorema di Bolzano è applicabile, e di conseguenza possiamo dedurre che esiste [math]c \in \Big(\frac{1}{e}, e\Big)[/math]
tale che [math]c + \ln c = 0[/math]
; guardando il grafico ci accorgiamo anche che tale punto è unico, ma ciò non è una conseguenza del teorema di Bolzano.
Esempio 2: funzione discontinua.
L'ultimo esempio che analizzeremo riguarda la funzione
[math]f(x) = \arctan\Big(\frac{1}{x}\Big)[/math]
nell'intervallo [math][-1,1][/math]
, come da figura:
Come vediamo dal grafico, non esiste alcun
[math]c[/math]
appartenente all'intervallo [math](-1,1)[/math]
in cui la funzione valga 0, per cui ci aspettiamo che qualcuna delle ipotesi del teorema di Bolzano non sia verificata. Controlliamo in primo luogo la richiesta sui punti estremi:
[math]f(a)f(b) = \arctan\Big(\frac{1}{-1}\Big) \arctan\Big(\frac{1}{1}\Big) = \arctan (-1)\arctan (1) = -\frac{\pi}{4}\cdot \frac{\pi}{4} = - \frac{pi^2}{16} \lt 0[/math]
Dunque questa ipotesi rispettata. Lo stesso non si può dire per di quella di continuità, poiché è facile vedere che i limiti destro e sinistro della
[math]f(x)[/math]
in esame nel punto [math]0 in [-1,1][/math]
sono finiti e distinti:
[math] \displaystyle \lim_{x \rightarrow 0^{\pm}} \arctan\Big(\frac{1}{x}\Big) =\lim_{z \rightarrow \pm\infty} \arctan z = \pm \frac{\pi}{2}[/math]
Ciò significa che
[math]f(x)[/math]
ha una discontinuità di prima specie nel punto [math]x = 0[/math]
, e quindi in particolare che non è continua nell'intervallo chiuso e limitato dato. Per questo motivo il teorema di Bolzano, come volevamo dimostrare, non è applicabile.Osservazione 5: L'implicazione contenuta nel teorema di Bolzano funziona in una sola direzione. Ciò significa che, se le ipotesi del teorema sono verificate, allora certamente il punto c ricercato esiste, ma se invece le ipotesi non sono rispettate nulla si può concludere circa l'esistenza o la non esistenza di c. In particolare non siamo autorizzati a dedurre che in tal caso
[math]c[/math]
non esista.
