Teorema di Bolzano o degli zeri

Enunciato del teorema di Bolzano o degli zeri

Enunciato: Sia \( f(x) \) una funzione continua in un intervallo chiuso e limitato \( [?,?] \), e risulti \( f(a) f(b) \lt 0 \) . Allora esisterà almeno un punto \( c \) interno all’intervallo \( [?,?] \) tale che sia \( f(c) = 0 \).

Osservazione 1: Dire che si ha \( f(a) f(b) \lt 0 \) è equivalente a dire che deve verificarsi una delle due seguenti condizioni

\[ \begin{equation} f(a) \lt 0 \mbox{,  } f(b) \gt 0 \mbox{    oppure    } f(a) \gt 0 \mbox{, } f(b) \lt 0 \label{eq1} \end{equation} \]

Ciò si può riassumere dicendo che la funzione assume due valori di segno opposto ai punti estremi del suo intervallo di definizione e continuità.

Osservazione 2: Affermare che \( c \) è interno all’intervallo chiuso e limitato \( [?,?] \) equivale a dire che \( c \in (a, b) \), ovvero che \( c \in [a, b] \) ma è distinto sia da \( a \), sia da \( b \). In altri termini, deve risultare \( a \lt c \lt b \), dove le disuguaglianze sono da intendersi in senso stretto.

Osservazione 3: Proviamo a produrci una semplice immagine mentale di ciò che afferma l’enunciato. Consideriamo nel piano cartesiano i punti \( A(a, f(a)) \) e \( B(b, f(b)) \); grazie alla osservazione 1, sappiamo che uno di essi, diciamo \( A \), si trova al di sotto dell’asse delle ascisse, mentre l’altro, nel nostro caso \( B \), si trova nel semipiano delle \( y \) positive. Poiché la funzione \( f(x) \) è per ipotesi continua nell’intervallo \( [?,?] \), il suo grafico consisterà in una linea curva di estremi i punti \( A \)  e \( B \), da tracciarsi senza alzare la matita dal foglio. Quale che sia il percorso che sceglieremo per congiungere \( A \) e \( B \), esso dovrà necessariamente tagliare l’asse delle \( x \) in almeno un determinato punto \( c \), nel quale risulterà \( f(c) = 0 \). Tale punto \( c \) è appunto quello di cui il teorema degli zeri predica l’esistenza.

 

Funzione continua, teorema di Bolzano o degli zeri

 

Dimostrazione del teorema di Bolzano o degli zeri

Dimostrazione: In virtù dell’osservazione 1, l’ipotesi che risulti \( f(a) f(b) \lt 0 \) può essere ricondotta a una delle eventualità presentate in \( \ref{eq1} \). Per fissare le idee, supponiamo quindi che valga la prima di esse, cioè

\[ \begin{equation} f(a) \lt 0 \mbox{,  } f(b) \gt 0 \label{eq2} \end{equation} \]

Nel caso dovesse invece presentarsi l’altra eventualità, la dimostrazione procederebbe in maniera del tutto analoga. Consideriamo l’insieme \( S \) di tutti i punti \( x \) dell’intervallo chiuso e limitato \( [?,?] \) per i quali risulti \( f(x) \lt 0 \), ovvero

\[ S = \{x \in [a, b] : f(x) \lt 0\} \]

Per via della \( \ref{eq2} \), risulta certamente \( a \in S \), e quindi \( S \) è non vuoto. Inoltre l’insieme \( S \) è tale da ammettere maggioranti, visto che se \( x \in S \)certamente è pure \( x \lt b \); dunque possiamo considerare l’estremo superiore \( c \) di \( S \).

Dal momento che \( f(b) \gt 0 \), per il teorema della permanenza del segno esisterà \( \epsilon \gt 0 \) tale che per ogni \( x \in (b – \epsilon, b) \) sarà \( f(x) \gt 0 \); ciò significa che \( (b – \epsilon, b) \cap S = \varnothing \). Se adesso fosse \( c = b \), per le proprietà dell’estremo superiore dovrebbe risultare che ogni intorno sinistro di \( b \), per quanto piccolo, dovrebbe contenere punti di \( S \), contro quanto appena visto. Ne risulta che \( c \ne b \), e dunque \( c \lt b \).

Ugualmente, poiché \( f(a) \lt 0 \) per il teorema della permanenza del segno esisterà \( \epsilon \gt 0 \) tale che per ogni \( x \in (a, a + \epsilon) \)  sia \( f(x) \lt 0 \). Quindi esistono punti di \( [?,?] \) strettamente maggiori di \( a \) appartenenti a \( S \), il che sarebbe impossibile se risultasse \( c = a \). Possiamo dedurne \( c \ne a \), il che implica \( a \lt c \); assieme alla disequazione ottenuta precedentemente abbiamo allora \( a \lt c \lt b \), cioè \( c \in (a, b) \), come volevasi.

Vogliamo adesso far vedere che \( f(c) = 0 \), e concludere così la dimostrazione. Comunque scegliamo \( \epsilon \gt 0 \) possiamo considerare gli intorni sinistro e destro \( (c – \epsilon, c) \) e \( (c, c + \epsilon) \), i quali conterranno punti in cui \( f(x) \) è definita e continua, visto che \( c \) è interno all’intervallo \( [?,?] \). Per via delle proprietà dell’estremo superiore, l’intorno destro è disgiunto da \( S \), mentre quello sinistro ha con \( S \) intersezione non vuota: risulta perciò che \( (c – \epsilon, c + \epsilon) \) contiene sempre sia punti dove \( f(x) \gt 0 \) sia punti tali che \( f(x) \lt 0 \).

Se fosse \( f(c) \gt 0 \) o \( f(c) \lt 0 \), per il teorema di permanenza del segno dovrebbe esistere un intorno così piccolo di \( c \) tale che tutti i punti ad esso appartenenti abbiano lo stesso segno, positivo nel primo caso e negativo nel secondo. Siccome abbiamo fatto vedere che così non è, allora necessariamente \( f(c) = 0 \). Ciò conclude la dimostrazione. ∎

Osservazione 4: Il teorema di Bolzano, che prende il nome dal matematico boemo Bernard Bolzano e non dalla città tirolese, è un teorema di esistenza: ciò significa che esso dimostra l’esistenza di un ente matematico con certe proprietà, ma non lo identifica con precisione. Nel nostro caso sappiamo che esiste \( c \in (a, b) \) tale che \( f(c) = 0 \), ma non sappiamo dire esattamente dove \( c \) sia posizionato all’interno dell’intervallo. Altri metodi, come quello di bisezione o quello del punto unito, consentono di calcolare \( c \) con precisione arbitraria.

 

Esempi di applicazione del teorema di Bolzano o degli zeri

Esempio 1: funzione continua in un intervallo chiuso e limitato.

Si consideri la funzione \( f(x) = x + \ln x \) nell’intervallo chiuso e limitato \( \Big[\frac{1}{e}, e\Big]\), il cui grafico è rappresentato nell’immagine seguente. Si vuole verificare, tramite applicazione del teorema di Bolzano, che \( f(x) \) si annulla in almeno un punto interno al suddetto intervallo.

 

Funzione continua in un intervallo chiuso e limitato

 

Per prima cosa calcoliamo \( f(a) \) e \( f(b) \), e controlliamo che \( f(a) f(b) \lt 0 \):

\( f(a)f(b) = \Big(\frac{1}{e}+\ln\frac{1}{e}\Big)(e+\ln e) = \Big(\frac{1}{e}-1\Big)(e + 1) = \frac{(1-e)(e+1)}{e} = \frac{1-e^2}{e} \lt 0 \)

La \( f(x) \) è inoltre certo definita e continua nell’intervallo dato, dal momento che la sua unica discontinuità, che è di seconda specie, viene assunta nel punto \( x = 0 \). Dunque il teorema di Bolzano è applicabile, e di conseguenza possiamo dedurre che esiste \( c \in \Big(\frac{1}{e}, e\Big) \) tale che \( c + \ln c = 0 \); guardando il grafico ci accorgiamo anche che tale punto è unico, ma ciò non è una conseguenza del teorema di Bolzano.

 

Esempio 2: funzione discontinua.

L’ultimo esempio che analizzeremo riguarda la funzione \( f(x) = \arctan\Big(\frac{1}{x}\Big) \)  nell’intervallo \( [−1,1] \), come da figura:

 

Funzione discontinua: y=arctan(1/x)

 

Come vediamo dal grafico, non esiste alcun \( c \) appartenente all’intervallo \( (−1,1) \) in cui la funzione valga 0, per cui ci aspettiamo che qualcuna delle ipotesi del teorema di Bolzano non sia verificata. Controlliamo in primo luogo la richiesta sui punti estremi:

\( f(a)f(b) = \arctan\Big(\frac{1}{-1}\Big) \arctan\Big(\frac{1}{1}\Big) = \arctan (-1)\arctan (1) = -\frac{\pi}{4}\cdot \frac{\pi}{4} = – \frac{\pi^2}{16} \lt 0 \)

Dunque questa ipotesi è rispettata. Lo stesso non si può dire però di quella di continuità, poiché è facile vedere che i limiti destro e sinistro della \( f(x) \) in esame nel punto \( 0 \in [−1,1] \) sono finiti e distinti:

\[ \lim_{x \rightarrow 0^{\pm}} \arctan\Big(\frac{1}{x}\Big) =\lim_{z \rightarrow \pm\infty} \arctan z = \pm \frac{\pi}{2} \]

Ciò significa che \( f(x) \) ha una discontinuità di prima specie nel punto \( x = 0\), e quindi in particolare che non è continua nell’intervallo chiuso e limitato dato. Per questo motivo il teorema di Bolzano, come volevamo dimostrare, non è applicabile.

Osservazione 5: L’implicazione contenuta nel teorema di Bolzano funziona in una sola direzione. Ciò significa che, se le ipotesi del teorema sono verificate, allora certamente il punto ? ricercato esiste, ma se invece le ipotesi non sono rispettate nulla si può concludere circa l’esistenza o la non esistenza di ?. In particolare non siamo autorizzati a dedurre che in tal caso \( c \) non esista.

 

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