Dal grafico della derivata conoscendo quello della funzione di partenza

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In questo appunto viene studiato il grafico di una funzione, della sua derivata e della sua primitiva.
In alcuni casi, è utile studiare il grafico della derivata di una funzione, studiandone il dominio, calcolandone i limiti nei suoi estremi, individuando i punti di discontinuità, ecc, per poter tracciare con precisione il grafico della funzione di partenza.

Funzione, derivata e primitiva

Definizione: Consideriamo la funzione

[math] F(x) [/math]

e indichiamo la sua derivata con

[math] f(x) [/math]

, cioè abbiamo che

[math] F'(x) = f(x) [/math]

La funzione
[math] F(x) [/math]
si dice primitiva di
[math] f(x) [/math]
.

Se la funzione di partenza è una funzione elementare è possibile calcolare la sua derivata e la sua primitiva e tracciare poi il grafico.

Molto spesso però si ha a disposizione il grafico di una funzione che può essere anche molto complessa, in questi casi è utile trovare il grafico della sua derivata e della sua primitiva semplicemente analizzando i vari tratti e punti caratteristici della funzione di partenza.

Il grafico della derivata e della primitiva di una funzione sono molto importanti anche nell’ambito della fisica; se ad esempio si ha un grafico che rappresenta la posizione di un corpo in funzione del tempo, da tale grafico si può ricavare, con le regole proposte nei prossimi paragrafi, il grafico della sua derivata che in questo caso corrisponde proprio alla velocità (la velocità è la derivata dello spazio in funzione del tempo), da questo è poi possibile tracciare il grafico della derivata seconda, utilizzando sempre le regole proposte nei paragrafi successivi, la derivata seconda in questo caso corrisponde proprio all’accelerazione a cui è soggetto il corpo.
Se invece si ha un grafico che rappresenta l’accelerazione del corpo nello spazio, si può trovare il grafico della sua primitiva che corrisponde alla velocità; se da questo grafico si trova il grafico della sua primitiva si può ricavare il grafico della posizione del corpo in funzione del tempo.

Dal grafico di una funzione a quello della sua derivata

Dato il grafico della funzione

[math] F(x) [/math]

, vogliamo tracciare il grafico della sua derivata

[math] f(x) [/math]

, essendo

[math] F'(x) = f(x) [/math]

Possiamo seguire le seguenti indicazioni:

poiché il segno della derivata prima indica la crescenza di una funzione, sappiamo che negli intervalli in cui
[math] F(x) [/math]
è crescente (decrescente) ,
[math] f(x) [/math]
sarà positiva (negativa); in particolare, il valore della derivata (nel caso in cui sia negativa, si parla di valore assoluto) sarà tanto maggiore quanto maggiore è la pendenza di
[math] F(x) [/math]
;
nei punti in cui la funzione
[math] F(x) [/math]
ha tangente orizzontale,
[math] f(x) [/math]
è nulla, quindi interseca l'asse
[math] x [/math]
.

Per fare un'analisi ancora più accurata, possiamo calcolare anche la derivata seconda di F(x), e quindi abbiamo che:

[math]F'(x) = f(x) \rightarrow F''(x) = f'(x)[/math]

La derivata seconda della funzione di partenza ci da delle indicazioni sulla concavità della funzione; da ciò derivano altre notevoli considerazioni:

negli intervalli in cui
[math]F(x)[/math]
volge la concavità verso l'alto (basso),
[math]F''(x)[/math]
è positiva (negativa), e quindi anche
[math] f'(x) [/math]
è positiva (negativa); la funzione
[math]f(x)[/math]
è, quindi, crescente (decrescente) in tali intervalli;
nei punti di flesso di
[math]F(x)[/math]
abbiamo che
[math]F''(x) = 0[/math]
, e quindi
[math]f'(x)=0[/math]
; la funzione
[math]f(x)[/math]
avrà quindi tangente orizzontale.

Ricordiamo che i punti di flesso sono quei punti nei quali la funzione è continua e cambia concavità.

Notiamo, poi, che se la funzione

[math] F(x) [/math]

è pari, e quindi simmetrica rispetto all'asse
[math] y [/math]
, allora la sua derivata è dispari, ed è quindi simmetrica rispetto all'origine, e viceversa (se la funzione è dispari la sua derivata è una funzione pari).

Per ulteriori approfondimenti sulle funzioni pari e dispari vedi anche qua

Dal grafico di una funzione a quello della sua primitiva

Consideriamo ora una funzione

[math] y = f(x) [/math]

; possiamo affermare che esistono infinite primitive
[math] F(x) [/math]
di tale funzione, che differiscono tra loro per una costante (tale costante modifica il valore delle y quindi tutti i grafici delle funzioni primitive sono traslati nelle ordinate, quindi verso l’alto o verso il basso di un valore costante).
Dato che vogliamo tracciare il grafico di solo una di esse, sarà sufficiente conoscerne il valore di un qualsiasi punto. Infatti, se

[math]F(x_0) = y_0[/math]

, sappiamo che

[math]F(x)[/math]

passa per il punto di coordinate

[math](x_0 ; y_0)[/math]

Successivamente, possiamo basarci sulle seguenti considerazioni:

negli intervalli in cui
[math]f(x)[/math]
è positiva (negativa),
[math]F'(x)[/math]
è anch'essa positiva (negativa), e quindi [math]F(x)[/math]
sarà crescente (decrescente);
nei punti in cui la funzione
[math]f(x)[/math]
si annulla abbiamo
[math]F'(x) = 0[/math]
, e quindi [math]F(x)[/math]
avrà un punto a tangente orizzontale.

Possiamo, poi, ricavare ulteriori considerazioni calcolando anche la derivata seconda di
[math] F(x) [/math]
:

[math]F(x) = f(x) \rightarrow F'(x) = f'(x)[/math]

Notiamo quindi che:

negli intervalli in cui la funzione
[math]f(x)[/math]
è crescente, abbiamo (
[math]f'(x) \gt 0[/math]
) , e quindi (
[math]F''(x) \gt 0[/math]
), perciò il grafico di [math]F(x)[/math]
volge la concavità verso l'alto.
negli intervalli in cui la funzione
[math] f(x) [/math]
è decrescente, abbiamo (
[math]f'(x) \lt 0[/math]
), e quindi (
[math]F''(x) \lt 0[/math]
), perciò il grafico di [math]F(x)[/math]
volge la concavità verso il basso.