Molto spesso, le funzioni con cui abbiamo a che fare sono formate dalla composizioni di funzioni che possono esser ricondotte alle elementari.
Per esempio, consideriamo due funzioni f(x) e g(x); la funzione composta, che chiamiamo h(x), data da
[math] \displaystyle f(x) \circ g(x)[/math]
, che si può anche scrivere come
[math] h(x) = f(g(x)) [/math]
. In questo caso, se vogliamo calcolare la
derivata di funzione composta, cioè
[math] h(x) [/math]
, sappiamo che questa è data dal
prodotto della derivata di g(x) per la derivata della funzione
[math] f(g(x)) [/math]
, cioè:
[math] \displaystyle \color{red}{\boxed{\color{black}{y = f(g(x)) \rightarrow y' = g'(x) \cdot f'(g(x))}}} [/math]
Esempio: Consideriamo la seguente funzione:
[math] \displaystyle y = (2x^2 - 3x + 1)^3 [/math]
Possiamo considerare la funzione come composizione di due funzioni, che chiamiamo f(x) e g(x), che sono le seguenti:
[math] \displaystyle f(x) = x^3 \, \, \, \, \, \, , \, \, \, \, \, g(x) = 2x^2 - 3x + 1 [/math]
Sapendo che la derivata di f(x)
[math] f(x) = 3x^2 [/math]
, possiamo facilmente calcolare la derivata della funzione
[math] f(g(x)) [/math]
, che è la seguente:
[math] \displaystyle f'(g(x)) = 3 \cdot (2x^2 - 3x + 1)^2 \cdot (4x - 3)[/math]
Inoltre, conosciamo la derivata di g(x), che un polinomio di secondo grado:
[math] \displaystyle g'(x) = 2 \cdot 2x - 3 = 4x - 3[/math]
Quindi, per calcolare la derivata della funzione composta, applicando la regola vista precedentemente abbiamo:
[math] \displaystyle y' = 3 \cdot (4x-3)(2x^2 - 3x + 1)^2[/math]
Esaminiamo, ora, una particolare funzione composta, di equazione
[math] \displaystyle y = \log(f(x))[/math]
, con
[math] \displaystyle f(x) \gt 0[/math]
.
Come abbiamo visto in precedenza, la derivata di questa funzione si può calcolare in questo modo:
[math] \displaystyle \color{red}{\boxed{\color{black}{y = \log[f(x)] \rightarrow y' = \frac{1}{f(x)} \cdot f'(x) = \frac{f'(x)}{f(x)}}}} [/math]
Derivate fondamentali
Con le nozioni finora acquisite, siamo in grado di determinare le derivate di altre funzioni, che possiamo assumere come derivate fondamentali.
- Consideriamo la seguente funzione:
[math] \displaystyle y = x^\alpha \, \, \, \, , \, \, \, \, x \gt 0 \, \, \, \, , \, \, \, \, \alpha \in \mathbb{R} [/math]
Anche in questo caso, vale la regola che abbiamo visto nel caso in cui l'esponente è intero e positivo, quindi la derivata della funzione potenza con esponente reale data da:
[math] \displaystyle y = x^\alpha \rightarrow y' = \alpha \cdot x^{\alpha - 1} [/math]
La regola vale anche nel caso in cui l'esponente sia frazionario, per esempio se abbiamo come esponente
[math] \displaystyle \alpha = \frac{1}{n} [/math]
con n intero e positivo; in questo caso, infatti, se x è elevato ad un esponente frazionario, è come se venisse applicata ad x una radice ennesima, infatti:
[math] \displaystyle x^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{x} [/math]
Per calcolare la derivata di una radice ennesima, applichiamo la seguente formula:
[math] \displaystyle \color{red}{\boxed{\color{black}{y = \sqrt[n]{x} \rightarrow y'=\frac{1}{n \cdot \sqrt[n]{x^{n-1}}} }}} [/math]
Esempio: Calcoliamo la derivata della seguente funzione:
[math] \displaystyle y = \sqrt[3]{x} + \sqrt[5]{x} - \sqrt{x} [/math]
Questa funzione composta dalla somma di tre radici di x, che sono tutte funzioni derivabili; la sua derivata, pertanto, equivale alla somma delle derivate delle singole funzioni. Applicando la formula vista in precedenza, abbiamo:
[math] \displaystyle y' = \frac{1}{3\sqrt[3]{x^{3-1}}} + \frac{1}{5\sqrt[5]{x^{5-1}}} - \frac{1}{2\sqrt{x^{2-1}}} = \frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}} + \frac{1}{5\sqrt[5]{x^4}} - \frac{1}{2\sqrt{x}}[/math]
Possiamo calcolare la derivata della funzione precedente anche seguendo la regola vista per le funzioni potenza; sappiamo, infatti, che ogni radice può essere espressa come potenza, quindi possiamo scrivere la funzione precedente in questo modo:
[math] \displaystyle y = x^{\frac{1}{3}} + x^{\frac{1}{5}} - x^{\frac{1}{2}}[/math]
Applicando, poi, la regola di derivazione per le potenze, otteniamo:
[math] \displaystyle y' = \frac{1}{3} x^{\frac{1}{3}-1} + \frac{1}{5} x^{\frac{1}{5}-1} - \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2}-1} = \frac{1}{3} x^{-\frac{2}{3}} + \frac{1}{5} x^{-\frac{4}{5}} - \frac{1}{2} x^{-\frac{1}{2}}[/math]
Possiamo ritrasformare le potenze in radici, poiché esse hanno esponente frazionario; inoltre, poiché gli esponenti sono negativi, sappiamo che x si troverà al denominatore delle frazioni:
[math] \displaystyle y' = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} + \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{x^{\frac{4}{5}}} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} = [/math]
[math] \displaystyle = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x^3}} + \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{\sqrt[5]{x^4}} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{x}}[/math]
la funzione derivata ottenuta, quindi, è uguale alla precedente, calcolata con la formula:
[math] \displaystyle y' = \frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}} + \frac{1}{5\sqrt[5]{x^4}} - \frac{1}{2\sqrt{x}}[/math]
- Consideriamo, ora, la seguente funzione:
[math] \displaystyle y = [f(x)]^{g(x)} [/math]
sapendo che f(x) deve essere maggiore di zero. Per calcolare la derivata della funzione possiamo applicare la seguente formula:
[math] \displaystyle y = [f(x)]^{g(x)} \rightarrow y’ = [f(x)]^{g(x)} \cdot \Big\{\Big[ g'(x) \log f(x) + g(x) \frac{f'(x)}{f(x)} \Big]\Big\} [/math]
Esempio: Consideriamo la seguente funzione, e calcoliamo la sua derivata:
[math] \displaystyle y = x^{2x}[/math]
possiamo calcolarne la derivata applicando la formula vista precedentemente, cioè:
[math] y’ = x^{2x} \cdot \Big\{\Big[D(2x) \cdot \log x + 2x \cdot \frac{D(x)}{x}\Big]\Big\} [/math]
Calcoliamo le derivare delle funzioni che compaiono, e svolgiamo i conti:
[math] y’ = x^{2x} \cdot \Big\{\Big[ 2 \log x + 2x \cdot \frac{1}{x} \Big]\Big\} = x^{2x} \cdot (2 \log x + 2) = 2x^{2x} \cdot (\log x + 1) [/math]
Per avere una conferma, possiamo calcolare la derivata con un metodo alternativo; sappiamo che le funzioni di questo tipo possono essere espresse come potenze con base e, quindi, la nostra funzione può essere scritta in questo modo:
[math] \displaystyle y = x^{2x} = e^{2x \cdot \log x}[/math]
Possiamo, poi, calcolare questa derivata come derivate di due funzioni composte, una delle quali
[math]e^x[/math]
, e l'altra
[math] \displaystyle 2x\log(x)[/math]
, quindi:
[math] \displaystyle y' = D(e^{2x\cdot \log x}) \cdot D(2x \cdot \log x)[/math]
Calcoliamo le derivate delle funzioni:
[math] \displaystyle y' = e^{2x \cdot \log x} \cdot \Big(2\log x + 2x \cdot \frac{1}{x}\Big) =[/math]
[math] \displaystyle = e^{2x \cdot \log x} \cdot (2 \log x + 2) = 2x^{2x} \cdot (\log x + 1)[/math]
