Funzioni crescenti e decrescenti in un intervallo
Una funzione y = f(x) definita in un intervallo I, limitato o illimitato, si dice strettamente crescente in I (o semplicemente crescente in I) se:[ forall x_1, x_2 in I,,, ,, x_1 lt x_2 \rightarrow f(x_1) lt f(x_2) ]
Invece, la funzione f(x) si dice strettamente decrescente in I (o semplicemente decrescente in I ) se accade che:
[ forall x_1, x_2 in I ,,, ,, x_1 lt x_2 \rightarrow f(x_1) gt f(x_2) ]
Vediamo ora un teorema che è una conseguenza del teorema di Lagrange, e mette in relazione la crescenza o la decrescenza di una funzione con il segno della sua derivata; ciò ci permette di determinare gli intervalli di monotonia di una funzione cioè gli intervalli in cui la funzione è crescente o decrescente.
Teorema
Consideriamo una funzione y = f(x) continua in un intervallo I (limitato o illimitato) e derivabile nei punti interni di I. Se la derivata della funzione è sempre positiva in I, allora la funzione è crescente in I; se, invece, la derivata della funzione è sempre negativa in I, allora la funzione è decrescente in I.
Possiamo quindi dire che il fatto che una funzione abbia derivata positiva, o negativa, nei punti interni di un intervallo I è condizione sufficiente per affermare che la funzione è crescente o decrescente in quell'intervallo.
Il teorema precedente può essere invertito, e si ha il seguente:
Teorema
Data una funzione y = f(x) continua in un intervallo I e derivabile nei punti interni di tale intervallo, se f(x) è crescente in I, allora nei punti interni di I la sua derivata è positiva: ( f'(x) ge 0 ); altrimenti, se f(x) è decrescente in I, la sua derivata è negativa nei punti interni di I, cioè ( f'(x) le 0 ).
Esempio
Consideriamo la seguente funzione, e stabiliamo in quali intervalli essa è crescente, e in quali è decrescente:
[ y = f(x) = frac{x}{1+x^2} ]
Notiamo che la funzione è definita in tutto R, quindi l'unione degli intervalli in cui la funzione è crescente e decrescente è uguale a R. Come abbiamo visto in precedenza, poiché la crescenza e la decrescenza di una funzione sono legate al segno della derivata, calcoliamo la derivata della funzione.
Applichiamo la regola vista nel caso in cui la funzione è data dal rapporto di due funzioni:
( f'(x) = frac{1+x^2-xcdot 2x}{(1+x^2)^2} =frac{1+x^2-2x^2}{(1+x^2)^2} =frac{1-x^2}{(1+x^2)^2} )
Studiamo ora il segno della derivata, e cerchiamo gli intervalli in cui essa è positiva; risolviamo, quindi, la seguente disequazione:
[ f'(x) ge 0 \rightarrow frac{1-x^2}{(1+x^2)^2} ge 0 ]
Poiché il denominatore, essendo il quadrato di una somma di quadrati, è sempre positivo, e non si annulla mai, il segno della frazione è dato dal segno del numeratore:
[ 1 - x^2 ge 0 ]
La disequazione è risolta per valori interni all'intervallo delle radici; quindi, la derivata della funzione f(x) è positiva nel seguente intervallo:
[ -1 le x le 1 ]
E, in questo intervallo, quindi, la funzione è crescente.
Di conseguenza, essendo la derivata della funzione negativa per ( x lt -1 \text{ e } x lt 1 ), in tali intervalli la funzione è decrescente.
Teorema di Cauchy
Nel teorema di Cauchy, si considerano due funzioni y = f(x) e y = g(x), entrambe continue nell'intervallo chiuso [a;b] e derivabili nell'intervallo aperto (a;b). Se la funzione g(x) ammette derivata diversa da zero in tutti i punti dell'intervallo (a;b), allora esiste un punto c, interno all'intervallo, nel quale si ha che:[ frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)} = frac{f'(c)}{g'(c)} ]
Questo teorema viene anche definito teorema degli accrescimenti finiti, in quanto esso esprime che, se due funzioni soddisfano le condizioni indicate, allora il rapporto tra gli incrementi delle due funzioni in un intervallo indicato è uguale al rapporto delle derivate delle funzioni calcolate in uno stesso punti interno all'intervallo.
