Il differenziale di una funzione
Se consideriamo una funzione[math]f(x)[/math]
, derivabile in un intervallo [math]I[/math]
, sappiamo che comunque preso un punto [math]x[/math]
in tale intervallo, e incrementando [math]x[/math]
di un valore [math]h[/math]
in modo che [math]x + h[/math]
appartenga ancora ad [math]I[/math]
, la frazione che ha per numeratore la differenza tra la funzione calcolata in [math]x + h[/math]
e la funzione calcolata in [math]x[/math]
, e per denominatore [math](x+h)-x=h[/math]
, si dice rapporto incrementale; inoltre, sappiamo che il limite per [math]h[/math]
che tende a zero di tale rapporto è la derivata prima della funzione.Per ulteriori approfondimenti sulle derivate vedi anche qua
Ora, indichiamo con
[math]\Delta x[/math]
l'incremento della variabile indipendente, cioè:
[math]\Delta x = (x+h) - x = x +h - x = h[/math]
e con
[math]\Delta y[/math]
l'incremento della variabile dipendente, cioè:
[math]\Delta y = f(x+h) - f(x)[/math]
Per quanto detto prima, sappiamo che il limite per
[math]\Delta x[/math]
che tende a zero del rapporto tra [math]\Delta y[/math]
e [math]\Delta x[/math]
corrisponde alla derivata della funzione:
[math]\displaystyle \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} = f'(x)[/math]
Inoltre, dato che la funzione
[math] f(x) [/math]
è derivabile, sappiamo che la derivata [math]f'(x)[/math]
esiste sempre; in base al valore di [math]f'(x)[/math]
possiamo stabilire la relazione tra gli incrementi, e in particolare abbiamo che:- se [math]f'(x)[/math]è costante e diversa da 0, allora[math]\Delta y[/math]e[math]\Delta x[/math]sono infinitesimi dello stesso ordine;
- se [math] f'(x) = 0 [/math], allora[math]\Delta y[/math]è un infinitesimo di ordine superiore a[math]\Delta x[/math].
[math]\frac{\Delta y}{\Delta x} = f'(x) + \epsilon(\Delta x)[/math]
dove,
[math]\epsilon[/math]
è funzione di [math]\Delta x[/math]
, e tale che il suo limite per [math]\Delta x[/math]
che tende a zero è zero.Dalla relazione precedente, moltiplicando ambi i membri per
[math]\Delta x[/math]
, otteniamo:
[math]\Delta y = f'(x) \cdot \Delta x + \epsilon ( \Delta x ) \cdot \Delta x )[/math]
e l'espressione
[math]f'(x) \cdot \Delta x [/math]
, che si indica con [math]df(x)[/math]
, o con [math] dy [/math]
, prende il nome di differenziale della funzione [math]f(x)[/math]
nel punto [math]x[/math]
, relativamente all'incremento [math]\Delta x [/math]
.Quindi, il differenziale di una funzione in un punto, in cui la funzione è derivabile, corrisponde al prodotto della derivata della funzione stessa per l'incremento della variabile indipendente:
[math] dy = f'(x) \cdot \Delta x [/math]
In particolare, se la funzione in questione è la funzione
[math] y = f(x) = x [/math]
, la sua derivata è uguale a 1, quindi il suo differenziale corrisponde all'incremento [math]\Delta x[/math]
:
[math]dx = \Delta x \Rightarrow dy = f'(x) \cdot \Delta x = 1 \cdot \Delta x = \Delta x \Rightarrow dy = df(x) = dx[/math]
Quindi, poiché il differenziale della variabile indipendente coincide con il suo incremento, possiamo affermare che il differenziale di una funzione è il prodotto tra la derivata della funzione stessa per il differenziale della variabile indipendente:
[math]dy = f'(x) \cdot dx[/math]
Operazioni con i differenziali
Possiamo calcolare il differenziale di funzioni in vari casi, per esempio nel caso di somma o differenza di funzioni, prodotto o quoziente di funzioni. Le regole di derivazione che valgono per la somma, la differenza, il prodotto e il quoziente di funzioni valgono anche per calcolare tali differenziali.In particolare, esaminiamo i vari casi:
Differenziale della somma algebrica di funzioni
Il differenziale della somma algebrica di due o più funzioni è uguale alla somma algebrica dei differenziali delle singole funzioni:
[math] d[f(x) \pm g(x)] = df(x) \pm dg(x) [/math]
Differenziale del prodotto di due o più funzioni
Il differenziale del prodotto di due funzioni è uguale alla somma del prodotto del differenziale della prima funzione per la seconda, più il prodotto della prima funzione per il differenziale della seconda:
[math]d[f(x) \cdot g(x)] = df(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot dg(x)[/math]
Differenziale del quoziente di due funzioni
Il differenziale del quoziente di due funzioni è uguale ad una frazione che ha per denominatore il quadrato del divisore, e per numeratore il prodotto del differenziale del dividendo per il divisore diminuito del prodotto tra il dividendo e il differenziale del divisore:
[math]d \left [\frac{f(x)}{g(x)} \right] = \frac{df(x) \cdot g(x) - f(x) \cdot dg(x)}{[g(x)]^2}[/math]
Significato geometrico di differenziale
Consideriamo una funzione[math] y = f(x) [/math]
, e la sua tangente [math] t [/math]
nel punto [math] P [ x ; f(x) ] [/math]
.Il differenziale della funzione
[math]f(x)[/math]
nel punto [math]x[/math]
, relativo a un incremento [math]h[/math]
, è l'incremento che subisce l'ordinata di un punto, muovendosi sulla retta tangente al grafico della funzione nel punto [math] P [x; f(x)] [/math]
, quando la sua ascissa passa da [math]x[/math]
a [math]x+h[/math]
.Considerando la figura precedente, possiamo dire che il differenziale
[math]dy[/math]
è rappresentato dall'incremento dell'ordinata del punto [math]P[/math]
(di ascissa [math]x[/math]
), che si sposta lungo la tangente, fino ad arrivare al punto T, che ha ascissa [math]x + h[/math]
; il differenziale è, quindi, rappresentato dalla misura del segmento [math]MT[/math]
.
