Teorema di Lagrange

Il teorema di Lagrange, o del valor medio, afferma che, data una funzione y = f(x) continua nell’intervallo chiuso e limitato [a;b], e derivabile nell’intervallo aperto (a;b), esiste almeno un punto c, interno all’intervallo [a;b], tale che si abbia:

\[ \frac{f(b)-f(a)}{b-a} = f'(c) \]

Il teorema, quindi, esprime l’uguaglianza tra il rapporto incrementale della funzione nell’intervallo [a;b] e la derivata della funzione in un punto c, interno all’intervallo.

Interpretiamo, ora, il teorema di Lagrange dal punto di vista geometrico.

 

Interpretazione geometrica del teorema di Lagrange

 

 

 

 

 

 

 

 

Consideriamo una curva di equazione y = f(x), e chiamiamo AB l’arco di questa funzione i cui estremi hanno ascisse a e b. Come sappiamo, il coefficiente angolare della retta AB è dato dal quoziente della differenza delle ascisse e la differenza delle ordinate di due punti qualsiasi appartenenti alla retta.

In questo caso, considerando i punti A e B, e sapendo che essi hanno coordinate, rispettivamente, (a; f(a)) e (b; f(b)), il coefficiente angolare della retta AB è dato da:

\[ m_{AB} = \frac{y_b – y_A}{x_B – x_A} = \frac{f(b)-f(a)}{b-a} \]

Dal teorema di Lagrange, abbiamo che m = f’(c), dove c è un punto interno all’intervallo [a;b]; sapendo che f’(c) è il coefficiente angolare della retta tangente alla curva in un punto P, possiamo affermare che tale retta è parallela alla retta passante per i punti A e B.

 

Applicazioni del teorema di Lagrange

Vediamo alcuni teoremi che ci illustrano delle applicazioni del teorema di Lagrange:

Teorema: Se una funzione continua ha derivata nulla in tutti i punti di un intervallo I (limitato, o illimitato ), allora essa è costante in quell’intervallo.

Teorema: Se due funzioni continue f(x) e g(x) hanno derivate uguali in tutti i punti di un intervallo, esse differiscono per una costante.

Infatti, se chiamiamo F(x) la differenza tra le funzioni f(x) e g(x), cioè:

\[ F(x) = f(x) – g(x) \]

sappiamo che la sua derivata è data dalla somma algebrica delle derivate delle singole funzioni:

\[ F'(x) = f'(x) – g'(x) \]

ma, dal momento che le derivate di f(x) e g(x) sono uguali in tutti i punti dell’intervallo considerato, abbiamo che:

\[ f'(x) = g'(x) \Rightarrow f'(x) – g'(x) = 0 \]

e quindi, anche $ F’(x) = 0 $; ciò significa che F(x) è una costante.

 

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