Disequazioni di secondo grado: definizione e risoluzione

In questo appunto di algebra è presente una breve panoramica sulle disequazioni e un focus sulla risoluzione delle disequazionoi di secondo grado. All'interno del testo è possibile trovare una breve descrizione della teoria delle disequazioni: definizioni, tipologie e differenti classificazioni in base alle caratteristiche dei termini che la compongono. Questo appunto propone anche esempi pratici di risoluzione che ha lo scopo di mostrare praticamente i passaggi da effettuare per risolvere una disequazionie di secondo grado.

Cosa sono le disequazioni

Con il termine disequazione, in matematica, viene definita una disuguaglianza, questo termine si usa anche abitualmente come contrapposto di equazione. Risolvere una disequazione in una incognita (o in più incognite) vuol dire trovare i valori dell'incognita (o le coppie, terne ecc., di valori delle incognite) che risolvono la disequazione, cioè rendono tale disequazione vera.

All'interno del termine generico "disequazione" possiamo andare ad effettuare una classificazione in base a proprietà e specifiche dei termini che la compongono. Partendo dal numero delle incognite, le disequazioni sono a una, due tre e cosi via incognite, in base, appunto, al numero di incognite diverse presenti all'interno della disequazione stessa.

Oltre al numero delle incognite, le disequaizoni possono essere suddivise in due macro categorie:

• Disequazioni Letterali: contengono anche delle lettere oltre alle incognite; tali lettere sono considerate delle costanti.


• Disequazioni Numeriche: contengono solo numeri, fatta eccezione per l'incognita.

Continuando con l'analisi delle caratteristiche delle disequazioni possiamo individuare altre due tipologie:

• Disequazioni Razionali: l'incognita non compare sotto il segno di radice


• Disequazioni Irrazionali: l'incognita compare sotto il segno di radice

se si va a guardare sempre la posizione dell'incognita all'interno dei termini della disequazione si può identificare anche la seguente classificazione:

• Disequazioni Intere: l'incognita non compare al denominatore in uno o più termini


• Disequazioni Fratte: l'incognita compare al denominatore in uno o più termini

Grado delle disequazioni

Prima di andare a definire cosa sono e come si risolvono le disequazioni di seconodo grado, dobbiamo comprendere cosa si intende per grado delle disequazioni. Il grado di una disequazione nell'incognita x, ridotta in forma normale, è il grado massimo dell'incognita, cioè l'esponente più grande con il quale l'incognita compare nella disequazione.
Per determinare il grado di una disequazione è necessario ridurla in forma normale. Nel caso ci trovassimo difronte ad una disequazione di primo grado, possimao utilizzare il termine disequazione lineare per definirla.

Per ulteriori approfondimenti sulle disequazioni di primo grado vedi anche qua

Disequazioni di secondo grado

Le disequazioni di secondo grado sono chiamate così perchè sono equazioni semplici che però o al denominatore o al numeratore o a entrambi presentano la variabile x elevata al quadrato, ovvero è presente un termine del tipo .

Prima di andare a vedere i passaggi per la risoluzione di una disequazione con queste caratteristiche, andiamo a definire la formula normale delle disequazioni di secondo grado:




Con , , che appartengono all'insieme dei numeri reali.

• [math]a[/math]
  : coefficiente del termine di secondo grado, deve essere diverso da 0


• [math]b[/math]
  : coefficiente del termine di primo grado


• [math]c[/math]
  : termine noto

Andiamo ora a vedere come risolvere una disequazione che ha le seguenti proprietà:
delta maggiore/uguale di 0 (soluzioni distinte oppure soluzioni coincidenti).

Per questo caso specifico possiamo applicare la regola D.I.C.E ovvero:

Se c'è discordanza tra il segno di X^2 e il segno della diseguaglianza, la disequazione è verificata per valori interni.

(Quindi D.I. Discordanza;Interni)


Se invece c'è concordanza allora si ha la seguente regola:

(Quindi C.E. Concordanza;Esterni)


Andiamo ora ad applicare questa regola ad un esempio pratico. Abbiamo la seguente disequazione:




I risultati trovati sono i seguenti: x=0 e x=9

Questi due risultati sono fondamentali per disegnare il grafico della disequazione: in pratica viene disegnata una retta sulla quale viene identificata l'origine nel punto zero, tutti i numeri a destra dello 0 sono positivi (quindi +1,+2,+3,+4 ecc...) tutti i numeri a sinistra dello 0 sono negativi (quindi -1,-2,-3,-4,ecc...). Nel nostro caso studio si parla di discordanza quindi i valori da selezionare come soluzioni sono interni. Dati i risultati 0 e 9, in corrispondenza di questi numeri si alzeranno due "paletti" e si "chiude" il rettangolo tra 0 e 9 perché i valori da selezionare sono interni a questo intervallo.

Nel caso avessimo avuto una concordanza tra il segno di x^2 e il segno della diseguaglianza, la disequazione sarebbe stata verificata per valori esterni. Abbiamo la seguente disequazione:





Una volta risolta l'equazione di secondo grado, i risultati trovati sono i seguenti:: x=3 e x=1
In questo caso, quando si parla di concordanza, indicata dal segno minore, i valori sono esterni, visti i risultati 1 e 3 si traccia una retta si segnano i numeri 0 (anche se non è un risultato lo 0 deve essere indicato sempre) il 3 e l'1 ma questa volta i valori non "chiudono" ma vanno dal numero all'estremo infinito perché i valori da prendere in considerazione sono esterni all'intervallo individuato.

Per ulteriori approfondimenti sulla risoluzione delle disequazioni vedi anche qua