Equazioni di grado superiore al secondo

Equazioni binomie

Le equazioni binomie sono equazioni di grado superiore al secondo che possono essere scritte in questo modo:

[ x^n = a ,,,,,, n in mathbb{N^{*}}, ,, a
e 0 ]
Il procedimento di risoluzione per le equazioni binomie varia a seconda che n sia pari o dispari; esaminiamo i due casi:

• n pari:

sappiamo gi risolvere il caso in cui n = 2, e un procedimento analogo pu essere applicato per n = 4, n = 6, .
Infatti, per risolvere equazioni binomie con n pari basta calcolare la radice n-esima del valore a, ricordandoci di prendere sia il valore positivo che quello negativo;
ricordiamoci, inoltre, che, dato che lindice della radice pari, dobbiamo assicurarci che il valore di a sia positivo: [ x^n = a
ightarrow x = pm sqrt[n]{a},,,,, n mbox{ pari, },, a ge 0 ]

• n dispari:

le equazioni binomie con esponente dispari si possono risolvere cos come quelle con indice pari, calcolando cio la radice n-esima del valore a che, per, in questo caso pu essere sia positivo che negativo:

Vediamo alcuni esempi:

• risolviamo la seguente equazione binomia: ( x^4 = 81 )

poich 81 un numero positivo, lequazione ammette soluzioni:

[ x^4 = 81
ightarrow x = pmsqrt[4]{81} = pm 3 ]

• risolviamo la seguente equazione binomia: ( x^{12} = -3 )

in questo caso, invece, abbiamo una potenza elevata ad esponente pari uguale ad un numero negativo; lequazione pertanto impossibile. Infatti, se volessimo fare un ulteriore passo, ci ritroveremmo un valore negativo sotto una radice di indice pari:

[ x^{12} = -3
ightarrow x = pmsqrt[12]{-3} ]

• risolviamo la seguente equazione binomia: ( x^5 = 243 )

risolviamo lequazione calcolando la radice quinta di 243:

[ x^5 = 243
ightarrow x = sqrt[5]{243} = 3 ]

• risolviamo la seguente equazione binomia: ( x^5 = -243 )

poich lesponente di x dispari, possiamo tranquillamente risolvere lequazione:

[ x^5 = -243
ightarrow x = sqrt[5]{-243} = -sqrt[5]{243} = -3 ]

Equazioni monomie

Unequazione monomia una particolare equazione binomio, dove per si ha a = 0:

[ x^n = 0 ,,,,,, n in mathbb{N^{*}} ]

Si pu facilmente notare che qualunque equazione monomia di grado n ha esattamente n radici coincidenti uguali a zero.

Si pu anche dire che x = 0 una radice di molteplicit n dellequazione monomia.

Equazioni trinomie

Le equazioni trinomie sono equazioni della forma:

[ ax^{2n} + bx^n + c = 0,,,,,, , ,,,,,, a
e 0 ]

nelle quali, cio, la x di grado massimo ha grado doppio rispetto alla x del secondo coefficiente.

Questo tipo di equazioni si possono risolvere attraverso un cambio di incognite, che ci permette di ricondurle a delle semplici equazioni di secondo grado.

Per risolvere le equazioni trinomie si opera la seguente sostituzione:

[ x^n = y ]

in questo modo, andando a sostituire nellequazione generica, otteniamo:

[ ay^2 + by + c = 0 ]

cio, unequazione di secondo grado in y. Dopo aver risolto questa equazione, e trovato il valor di y, baster sostituire questo valore nelluguaglianza precedente, e risolvere lequazione binomia, trovando cos i valori di x.
Esempio: risolviamo la seguente equazione trinomia: ( 8x^6 - 7x^3 - 1 = 0 )

In questo caso, la sostituzione che dobbiamo fare la seguente: ( x^3 = y )

otteniamo quindi:

( 8y^2 - 7y - 1 = 0 )

risolviamo questa equazione di secondo grado in y, trovando i valori di y:

( y = frac{7 pmsqrt{7^2 + 4 cdot 8}}{2 cdot 8} = frac{7pmsqrt{49+32}}{16} = frac{7 pm sqrt{81}}{16} = frac{7 pm 9}{16} )

( y = frac{7 pm 9}{16}
ightarrow y = frac{7 + 9}{16} vee y = frac{7-9}{16}
ightarrow y = frac{16}{16} vee y = frac{-2}{16}
ightarrow y = 1 vee y = -frac{1}{8} )

ora, sostituiamo i valori di y trovati nellequazione binomia precedente, e risolviamola per trovare i valori di x:

( y = 1 vee y = -frac{1}{8}
ightarrow x^3 = 1 vee x^3 = -frac{1}{8} )

( x^3 = 1
ightarrow x= sqrt[3]{1} = 1 )

( x^3 = -frac{1}{8}
ightarrow x = sqrt[3]{-frac{1}{8}} = - sqrt[3]{frac{1}{8}} = - frac{1}{2} )

concludiamo quindi che:

( x = 1 vee x = -frac{1}{2} )

Equazioni risolubili mediante la legge di annullamento del prodotto

Alcune equazioni di grado superiore al secondo non sono riconducibili agli esempi visti in precedenza; in questo casi, per risolverle, occorre scomporle in fattori, e applicare la legge di annullamento del prodotto.

Consideriamo unequazione ridotta in forma normale: P(x) = 0.

Possiamo cercare di scomporre il polinomio P(x) in un prodotto di fattori:

( P(x) = 0
ightarrow A(x) cdot B(x) cdot ldots = 0 )

Applicando poi la legge di annullamento del prodotto, possiamo trovare le soluzioni dellequazione ponendo uguali a zero i singoli fattori:

( A(x) = 0, B(x) = 0, ldots )

Se la scomposizione in fattori del polinomio P(x) non immediata, si pu procedere con il metodo di Ruffini, cercando un numero c tale che P(c) = 0.

Si procede, poi, trovando il polinomio Q(x) tale che P(x) = (x - c) ? Q(x).