_stan
di _stan
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In questo appunto viene approfondito e spiegato il procedimento da seguire per risolvere un'equazione di secondo grado sia dal punto di vista analitico sia dal punto di vista grafico, con esempi per comprendere meglio tale procedimento.

Risoluzione dell'equazione di secondo grado completa

Per risolvere le equazioni di secondo grado complete si ricorre ad una formula, che ci permette di determinare subito le due soluzioni.

In una equazione di secondo grado completa viene definito discriminante, e indicato con la lettera greca (

[math]\Delta[/math]
) ( delta ), la seguente espressione:
[math]\Delta = b^2 - 4ac[/math]

Se questa quantità è maggiore di zero, allora l'equazione ammette due soluzioni distinte, che sono date dalla seguente formula:

[math]x_1 = \frac{-b + \sqrt{\delta}}{2a} ,,,,, \mbox{ e } ,,,,, x_2 = \frac{-b - \sqrt{\delta}}{2a}[/math]

equivalentemente:

[math]x_1 = \frac{-b + \sqrt{b^2-4ac}}{2a} ,,,,, \mbox{ e } ,,,,, x_2 = \frac{-b - \sqrt{b^2-4ac}}{2a}[/math]

Esempio: troviamo le soluzioni della seguente equazione di secondo grado:

[math]6x^2 - 5x - 6 = 0[/math]

Applichiamo la formula di risoluzione:

[math]x = \frac{-(-5) \pm \sqrt{(-5)^2-4 \cdot 6 \cdot (-6)}}{2 \cdot 6}[/math]

svolgiamo i calcoli:

[math]\frac{5 \pm \sqrt{25+144}}{12} = \frac{5 \pm \sqrt{169}}{12} = \frac{5 \pm 13}{12}[/math]

otteniamo quindi due soluzioni distinte, che sono:

[math]x_1 = \frac{5+13}{12} = \frac{18}{12} = \frac{3}{2}[/math]

[math]x_2 = \frac{5-13}{12} = \frac{-8}{12} = -\frac{2}{3}[/math]

Poiché il delta si trova sotto una radice quadrata, è necessario che esso sia una quantità positiva; tuttavia, vi sono dei casi un cui si ha che il delta è minore di zero o uguale a zero:

  • se (
    [math]\Delta = 0[/math]
    ) possiamo utilizzare le formule precedenti per trovare le soluzioni dell'equazione:
[math]x_1 = \frac{-b+\sqrt{0}}{2a} ,,,,, \mbox{ e } ,,,,, x_2 = \frac{-b-\sqrt{0}}{2a}[/math]

da cui:

[math]x_1 = \frac{-b}{2a} ,,,,, \mbox{ e } ,,,,, x_2 = \frac{-b}{2a}[/math]

possiamo quindi concludere che, nel caso in cui una equazione di secondo grado abbia il delta uguale a zero, essa ha due soluzioni coincidenti date dalla formula:

[math]x_1 = x_2 = -\frac{b}{2a}[/math]
  • se (
    [math]\Delta \lt 0[/math]
    ) : sappiamo che non è possibile avere una quantità negativa sotto una radice quadrata, quindi non sono valide le formule viste in precedenza; concludiamo, quindi, che l'equazione è impossibile, non ammette soluzioni.
Riassumendo quanto appena detto:


Per ulteriori approfondimenti sulle equazioni di secondo grado vedi anche qua

Formula ridotta

Vediamo un'eccezione della formula vista in precedenza, che si può applicare nel caso in cui il secondo coefficiente è un numero pari, cioè nel caso in cui l'equazione di secondo grado completa si presenti in questo modo:
[math]ax^2 + bx + c = 0 ,,,,, \mbox{ con } b \mbox{ pari}[/math]

Possiamo scrivere l'equazione in questo modo:

[math]ax^2 + 2\beta x + c = 0[/math]

essendo (

[math]b = 2\beta[/math]
);

applichiamo la formula risolutiva vista precedentemente in questo caso:

[math]x_{1,2} = \frac{-2\beta \pm \sqrt{(2\beta)^2 - 4ac}}{2a}[/math]

svolgiamo calcoli all'interno della radice:

[math]x_{1,2} = \frac{-2\beta \pm \sqrt{(2\beta)^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-2\beta \pm \sqrt{4\beta^2 - 4ac}}{2a}[/math]

mettiamo in evidenza il numero 4, e portiamolo fuori dalla radice:

[math]\frac{-2\beta \pm \sqrt{4(\beta^2-ac)}}{2a} = \frac{-2\beta \pm 2\sqrt{\beta^2 -a c}}{2a}[/math]

mettiamo in evidenza il numero 2, e semplifichiamo:

[math]\frac{-2(\beta \pm \sqrt{\beta^2 - ac}}{2a} = \frac{-\beta \pm \sqrt{\beta^2 -ac}}{2a}[/math]

Ricordandoci che (

[math]b = 2\beta[/math]
), possiamo scrivere la formula in questo modo:
[math]\frac{-\beta \pm \sqrt{\beta^2 -ac}}{2a} = \frac{-\frac{b}{2} \pm \sqrt{\Big(\frac{b}{2}\Big)^2 -ac}}{a}[/math]

Quindi, in tutte le equazioni di secondo grado complete i cui il secondo coefficiente è pari, le soluzioni dell'equazione sono date dalla formula:

[math]x_{1,2} = \frac{-\frac{b}{2} \pm \sqrt{\Big(\frac{b}{2}\Big)^2-ac}}{a}[/math]

In questa formula, l'espressione che compare sotto radice rappresenta la quarta parte del delta che usiamo nella formula generale:

[math]\frac{\Delta}{4} = \frac{b^2-4ac}{4} = \frac{b^2}{4} -\frac{4ac}{4} = \Big(\frac{b}{2}\Big)^2 - ac[/math]

Equazioni di secondo grado e parabole

La risoluzione di un'equazione di secondo grado può anche essere interpretata graficamente: in un piano cartesiano, un'equazione di secondo grado rappresenta una parabola con asse di simmetria parallelo all'asse y e concavità verso l'alto.

Le soluzioni di un'equazione di secondo grado rappresentano, nel piano cartesiano, i punti in cui la parabola interseca l'asse x.

Vediamo, di preciso, il grafico della parabola nei tre casi:

  • (
    [math]\Delta \gt 0[/math]
    ) : l'equazione ha due soluzioni distinte, quindi la parabola ha due punti di intersezione con l'asse x; se (
    [math]a \gt 0[/math]
    ) la parabola è rivolta verso l'alto, mentre se (
    [math]a \lt 0[/math]
    ), la parabola ha concavità verso il basso:

    • [/url]

  • (
    [math]Delta = 0[/math]
    ) : l'equazione ha due soluzioni coincidenti, quindi la parabola ha un solo punto di intersezione con l'asse x; se (
    [math]a \gt 0[/math]
    ) la parabola è rivolta verso l'alto, mentre se (
    [math]a lt 0[/math]
    ), la parabola ha concavità verso il basso:

  • (
    [math]\Delta \lt 0[/math]
    ): l'equazione è impossibile, quindi la parabola non ha punti di intersezione con l'asse x; in particolare, se (
    [math]a \gt 0[/math]
    ) la parabola si trova al di sopra dell'asse x, mentre se (
    [math]a \lt 0[/math]
    ), la parabola si trova al di sotto

[url=https://www.skuola.net/matematica/geometria-analitica/parabola.html]Per ulteriori approfondimenti sulla parabola e la sua equazione vedi anche qua

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