Le equazioni irrazionali che hanno radici con indici dispari, possono essere risolte pi facilmente di quelle con indice pari, in quanto non dobbiamo preoccuparci di porre condizioni di esistenza o di accettabilit delle soluzioni.
Risoluzione
Il procedimento risolutivo delle equazioni irrazionali con radicali di indice dispari, avviene in maniera simile rispetto a quelle con radicali quadratici;per risolvere le equazioni, infatti, si cerca sempre di eliminare le radici per ottenere unequazione razionale equivalente.
Inoltre, dopo aver trovato le soluzioni dellequazione razionale non necessario effettuare una verifica delle soluzioni: possiamo accettare tutte le soluzioni trovate.
Esempio: risolviamo la seguente equazione irrazionale:
[ sqrt[3]{x^3+4x^2-3} = x + 1 ]
Possiamo procedere subito elevando al cubo sia il primo che il secondo membro dellequazione:
( Big( sqrt[3]{x^3+4x^2-3} Big)^3 = (x+1)^3 )
eliminiamo la radice e calcoliamo il cubo del binomio:
( x^3 +4x^2 - 3 = x^3 + 1 + 3x^2 + 3x )
portiamo tutti i termini al primo membro, semplificando gli eventuali termini simili, e rendendo lequazione in forma normale:
( 4x^2 - 3 - 1 - 3x^2 - 3x = 0 )
( x^2 - 3x - 4 = 0 )
Calcoliamo ora le radici dellequazione:
( x= frac{3pmsqrt{3^2+4cdot 4}}{2} = frac{3pmsqrt{9+16}}{2} = frac{3pm sqrt{25}}{2} = frac{3pm 5}{2} )
( x= frac{3+5}{2} vee x = frac{3-5}{2}
ightarrow x = frac{8}{2} vee x = frac{-2}{2}
ightarrow x = 4 vee x = -1 )
Possiamo accettare le soluzioni trovate come soluzioni anche dellequazione irrazionale, senza effettuare alcuna verifica delle soluzioni.
Altri tipi di equazioni irrazionali
Vediamo ora come risolvere, in generale, tutti i tipi di equazioni irrazionali che hanno radicali con indice maggiore di 3. In generale, possiamo fare le seguenti considerazioni:- Elevando entrambi i membri di unequazione ad una potenza con esponente pari, si ottiene unequazione che non equivalente a quella alla precedente, in quanto pu avere soluzioni che non possono essere accettate per lequazione di partenza (soluzioni estranee);
- elevando entrambi i membri di unequazione ad una potenza con esponente dispari, si ottiene unequazione equivalente a quella data.
In questi casi, se abbiamo a che fare con pi radicali, dovremmo elevare al quadrato pi volte entrambi i membri dellequazione; vediamo un esempio:
Risolviamo la seguente equazione: ( displaystyle sqrt{x-2} = sqrt{8-x}-2 )
Per prima cosa, poniamo le condizioni di esistenza dei radicali:
( egin{cases} x-2 ge 0 \ 8-x ge 0 end{cases}
ightarrow egin{cases} xge 2 \ x le 8 end{cases}
ightarrow mbox{C.E.: } 2 le x le 8 )
Ora, scriviamo lequazione nella forma equivalente
( sqrt{x-2}+2 = sqrt{8-x} )
in modo che, in base alle condizioni di esistenza, siano verificate anche le condizioni di concordanza di segno fra primo e secondo membro; possiamo scrivere quindi:
( mbox{C.A.: } 2 le x le 8 )
Ora, possiamo procedere elevando entrambi i membri alla seconda:
( Big( sqrt{x-2} + 2 Big)^2 = Big( sqrt{8-x}Big)^2 )
Calcoliamo i due quadrati:
( x - 2 + 4 + 4 sqrt{x-2} = 8 -x )
Lasciamo il radicale al primo membro, e portiamo tutti gli altri termini al secondo; poi, semplifichiamo lequazione:
( 4 sqrt{x-2} = 8 - x - x + 2 - 4 )
( 4 sqrt{x-2} = 6 - 2x
ightarrow 2 sqrt{x-2} = 3 - x )
Eleviamo nuovamente al quadrato entrambi i membri dellequazione:
( Big( 2sqrt{x-2} Big)^2 = (3-x)^2 )
Calcoliamo i quadrati:
( 4x - 8 = 9 + x^2 - 6x )
( 4x - 8 - 9 - x^2 + 6x = 0
ightarrow x^2 - 10x + 17 = 0 )
Determiniamo ora le soluzioni dellequazione:
( x = frac{5pm sqrt{25-17}}{1} = 5 pm sqrt{8} = 5 pm 2sqrt{2} )
Confrontando le soluzioni trovate con le condizioni di esistenza dellequazione, possiamo concludere che lunica soluzione dellequazione ( x = 5 - 2 sqrt{2} ).
Se i radicali hanno indici diversi, invece, dobbiamo elevare entrambi i membri dellequazione ad una potenza in modo tale da eliminare tutte le radici presenti; generalmente, si sceglie lesponente uguale al minimo comune multiplo degli esponenti delle radici presenti.
Esempio: risolviamo la seguente equazione:
[ sqrt[4]{x^2+5x+6} = sqrt{x+4} ]
Prima di cominciare con i calcoli, notiamo che le due radici che compaiono hanno indice pari; dobbiamo quindi porre le condizioni di esistenza:
( egin{cases} x^2+5x +6 ge 0 \ x+4 ge 0 end{cases}
ightarrow egin{cases} x le -3 vee x ge -2 \ x ge -4 end{cases} )
da cui otteniamo:
( mbox{C.E.: } -4 le x le -3 vee x ge -2 )
Notiamo che compaiono due radicali che hanno indice diverso; poich
( mbox{m.c.m.} (4,2) = 4 )
per eliminare entrambe le radici, dobbiamo elevare entrambi i membri dellequazione per il minimo comune multiplo degli indici delle radici:
( Big( sqrt[4]{x^2 + 5x + 6}Big)^4 = Big( sqrt{x+4}Big)^4 )
procediamo con i calcoli:
( x^2 + 5x + 6 = (x+4)^2 )
( x^2 + 5x + 6 = x^2 + 16 + 8x )
portiamo tutti i termini a primo membro e risolviamo lequazione:
( x^2 + 5x + 6 - x^2 - 16 - 8x = 0 )
( -3x - 10 = 0
ightarrow x = - frac{10}{3} )
La soluzione ottenuta pu essere accettata, perch si ha:
( -4 le frac{10}{3} le -3 )
