Equazioni irrazionali con radicali quadratici

Unequazione nellincognita x si dice irrazionale quando al suo interno compaiono dei radicali che hanno, come radicando, unespressione contenente x.

Per procedere nello studio di queste equazione, ricordiamo che :

• le condizioni di esistenza ( C.E. ) di un radicale con indice pari si hanno ponendo il radicando maggiore o uguale a zero;
• il dominio di unequazione linsieme dei valori che, sostituiti allincognita dellequazione, la rendono unuguaglianza vera.

Alcune equazioni irrazionali con radicali quadratici possono essere risolte in modo immediato; vediamo alcuni casi; chiamiamo f(x) un polinomio nellincognita x, e consideriamo le seguenti equazioni:

• ( sqrt{f(x)} = -ambox{, } ,, a gt 0 )

poich una radice quadrata sempre positiva ( o nulla ), non potr mai essere uguale ad un valore negativo; concludiamo, quindi, che lequazione impossibile.

• ( sqrt[2n+1]{f(x)} = 0mbox{, } ,, n in mathbb{N^*} )

sappiamo che una radice, di indice dispari, uguale a zero se e solo se il suo radicando zero; perci, le soluzioni si ottengono risolvendo la seguente equazione: ( f(x) = 0 )

• ( sqrt{f(x)} + sqrt{g(x)} = 0 )

poich due radicali on indice pari sono sempre positivi o nulli, lequazione ammette soluzioni se e solo se entrambi i radicandi sono uguali a zero; quindi, abbiamo che:

[ f(x) = 0 wedge g(x) = 0 ]

Vediamo ora dei metodi generali per la risoluzione di equazioni irrazionali.

Per risolvere unequazione irrazionale, dobbiamo cercare per prima cosa di eliminare i radicali, e per farlo si elevano entrambi i membri dellequazione, una o pi volte, allindice della radice.

Esaminiamo due metodi possibili con i quali si pu procedere:

Risoluzione con verifica delle soluzioni

Supponiamo che nellequazione compaiano radicali quadratici; il procedimento pu essere applicato qualunque sia lindice delle radici.

Il procedimento con verifica delle soluzioni si effettua in questo modo:

• si elevano al quadrato, una o pi volte, entrambi i membri dellequazione, fino ad ottenere unequazione razionale;
• si trovano le soluzioni dellequazione ottenuta;
• si esegue una verifica delle soluzioni per stabilire quali delle soluzioni trovate possano essere accettate, sostituendo ciascuna soluzione allincognita nellequazione irrazionale.

Esempio: risolviamo la seguente equazione irrazionale:

[ sqrt{2x-3} = 5 - 2x ]

cerchiamo di eliminare la radice e di rendere lequazione razionale; eleviamo primo e secondo membro alla seconda:

( Big( sqrt{2x-3}Big)^2 = (5-2x)^2 )

( 2x - 3 = 25 + 4x^2 - 20x )

portiamo tutti i termini al primo membro e rendiamo lequazione in forma normale:

( -4x^2 + 2x - 3 - 25 + 20x = 0 )

( -4x^2 + 22x - 28 = 0
ightarrow 2x^2 - 11x + 14 = 0 )

determiniamo le soluzioni dellequazione:

( x = frac{11 pm sqrt{11^2-4cdot 2 cdot 14}}{2 cdot 2} = frac{11 pm sqrt{121 - 112}}{4} = frac{11 pm sqrt{9}}{4} = frac{11 pm 3}{4} )

( x = frac{11+3}{4} vee x = frac{11 - 3}{4}
ightarrow x = frac{14}{4} vee x = frac{8}{4}
ightarrow x = frac{7}{2} vee x = 2 )

Ora, per verificare se le soluzioni trovate sono accettabili o meno, dobbiamo sostituirle nella prima equazione, quella irrazionale; cominciamo dalla prima soluzione:

( sqrt{2 cdot frac{7}{2} -3} = 5 - 2 cdot frac{7}{2} )

( sqrt{7-3} = 5-7
ightarrow sqrt{4} = -2
ightarrow 2 = -2 )

dato che abbiamo ottenuto unuguaglianza falsa, non possiamo accettare questa soluzione; proviamo con laltra:

( sqrt{2 cdot 2 - 3} = 5 - 2 cdot 2)

( sqrt{4-3} = 5 - 4
ightarrow sqrt{1} = 1
ightarrow 1= 1 )

In questo caso, otteniamo unuguaglianza vera; concludiamo che lunica soluzione dellequazione irrazionale x = 2.

Risoluzione con le condizioni di accettabilit

A differenza del metodo precedente, in questo caso, prima di procedere con la risoluzione dellequazione, si pongono le condizioni di accettabilit delle soluzioni; le soluzioni che si ottengono dallequazione razionale dovranno quindi soddisfare le condizioni di appartenenza al dominio dellequazione, cio le condizioni di esistenza, e le condizioni di concordanza del segno tra i due membri dellequazione.

Vediamo un esempio:

consideriamo lequazione irrazionale dellesempio precedente:

( sqrt{2x -3} = 5 - 2x )

Per prima cosa, essendo la radice di indice pari, poniamo le condizioni di esistenza della radice stessa:

( mbox{C.E.: } 2x - 3 ge 0
ightarrow x ge frac{3}{2} )

Notiamo, poi, che il primo membro, essendo una radice di indice pari, sar sempre positivo o nullo; dobbiamo quindi imporre la condizione di concordanza del segno per il secondo membro:

( mbox{C.C.S.: } 5 - 2x ge 0
ightarrow x le frac{5}{2} )

Le soluzioni che troveremo dovranno soddisfare contemporaneamente entrambe le condizioni, quindi, per ottenere le condizioni di accettabilit delle soluzioni, mettiamo a sistema le due condizioni precedenti:

( egin{cases} x ge frac{3}{2} \ x le frac{5}{2} end{cases}
ightarrow mbox{C.A.: } frac{3}{2} le x le frac{5}{2} )

Procediamo ora con la risoluzione dellequazione:

( sqrt{2x - 3} = 5 - 2x
ightarrow 2x - 3 = 25 + 4x^2 -20x )

( 2x^2 - 11x + 14 = 0
ightarrow x = frac{7}{2} vee x = 2 )

Dobbiamo ora confrontare le soluzioni ottenute, e vedere se sono comprese nellintervallo delle condizioni di accettabilit; dato che 7/2 > 5/2, escludiamo questa soluzione, in quanto con appartiene allintervallo; invece, poich 2 compreso tra 3/2 e 5/2, possiamo accettare la soluzione x = 2.

Sulla base di questultimo esempio, possiamo affermare che tutte le equazioni del tipo

[ sqrt{f(x)} = g(x) ]

possono essere risolte determinando le soluzioni del seguente sistema:

[ egin{cases} g(x) ge 0 \ f(x) = [g(x)]^2 end{cases} ]