Introduzione alle equazioni differenziali ordinarie

In questo appunto si descrivono le equazioni differenziali sono uno degli strumenti maggiormente utilizzati nelle applicazioni della matematica alle altre discipline. Mediante equazioni differenziali si possono costruire modelli matematici che descrivono fenomeni e processi nel mondo reale. Nella legge di Newton, ad esempio, la forza applicata influenza l’accelerazione, dunque la variazione della velocità della particella, che d’altra parte esprime la variazione dello spostamento. In molti di questi fenomeni due grandezze rappresentate da una variabile, interagiscono in modo tale che una di esse ha influenza sulla variazione dell'altra. Da un punto di vista matematico ciò si esprime attraverso una relazione tra una variabile e qualche derivata dell’altra. Introduciamo in questo appunto le equazioni differenziali ordinarie, partendo dalle definizioni e con alcuni esempi, illustriamo quelle del primo e secondo ordine. Vedremo inoltre cosa si intende per integrale di equazione differenziale.

Equazioni differenziali ordinarie, definizioni

Si chiama equazione differenziale ordinaria (EDO) una relazione tra una variabile indipendente reale (detta x ad esempio), una funzione incognita e almeno una delle sue derivate , fino ad un certo ordine n. Tale relazione verrà scritta come:

Dove F è una funzione reale di n + 2 variabili reali. Si dice che l'equazione differenziale è di ordine n, se n è l'ordine più alto delle derivate di y che intervengono nella relazione. L’equazione seguente, ad esempio, è del terzo ordine perché compare la derivata terza di y:

Ognuna delle funzioni che verifica un'equazione differenziale si chiama soluzione o integrale dell'equazione. Il grafico di una soluzione si chiama curva integrale. Risolvere un'equazione differenziale significa determinare tutte le sue soluzioni. Chiamiamo integrale generale l'insieme di tutte le funzioni che sono integrali dell'equazione.
Se l’ordine massimo delle derivate presenti è uno, allora si tratta di equazioni differenziali del primo ordine.
Sono del primo ordine le seguenti equazioni differenziali:

• [math]y' + 2x = 1[/math]
• [math]y' = y\cdot sin x + sin x[/math]
• [math]y' - y = 1[/math]
• [math]y' = 2xy - x[/math]

Osserviamo che non è necessario che compaia sempre la funzione incognita .
Un'equazione differenziale del primo ordine è riconducibile in generale, alla seguente relazione:

si dice ridotta in forma normale quando è scritta come:

Ovvero è esplicitata rispetto alla derivata prima della funzione incognita y.
Facciamo un esempio, consideriamo la seguente equazione differenziale:

Poiché la derivata di una funzione si può esprimere come il rapporto di differenziali, l'equazione può essere così riscritta:

e poi in forma normale esplicitando la derivata prima:

Una funzione

è soluzione di questa equazione se e solo se è una primitiva di . Trovare la primitiva significa integrare!! L'integrale generale dell'equazione è dato dall'integrale indefinito:

La cui risoluzione è molto semplice, trattandosi di un integrale indefinito di tipo razionale intero:

Data un’equazione differenziale del primo ordine

, l’integrale generale è una famiglia di funzioni , di due variabili, perché dipende da e dalla costante di integrazione

[math]c[/math]

; le soluzioni particolari si ottengono attribuendo al parametro determinati valori, che dipendono dalle condizioni poste.
L'integrale generale rappresenta dunque la famiglia di funzioni che differiscono proprio per il valore della costante avendo tutte la stessa derivata prima.
Scriveremo che l’integrale generale dell’equazione differenziale assegnata è . Attribuendo un valore alla costante, si ottiene quella che si definisce una soluzione particolare ad esempio la funzione ottenuta per c=2, è:

Spesso, in un’equazione differenziale del primo ordine, si cerca una soluzione particolare la cui curva integrale passa per un punto

assegnato.
In questo caso la risoluzione dell’equazione differenziale consiste nella determinazione di una funzione che soddisfi le due condizioni:

Un problema di questo genere e detto problema di Cauchy e la condizione espressa dalla seconda equazione del sistema è detta condizione iniziale del problema di Cauchy.

Vedi anche qui per approfondire sulle equazioni differenziali del primo ordine

Equazioni differenziali del secondo ordine

Definizione. Una equazione differenziale del secondo ordine è una relazione tra una variabile indipendente , una funzione incognita , la sua derivata prima e la sua derivata seconda .

Un'equazione differenziale del secondo ordine è riconducibile alla forma:

Si dice che è in forma normale quando è scritta come:

ossia esplicitata rispetto alla derivata seconda della funzione incognita. Vediamo alcuni esempi di equazioni differenziali del secondo ordine

• [math]5x + y^"= y'[/math]
• [math]y^"- 4y+4x = 0[/math]
• [math]y^"- 3y = e^{3x}[/math]

Notiamo che, anche in questo caso, non è necessaria la presenza del termine , affinché si possa parlare di equazione differenziale del secondo ordine; è indispensabile, ovviamente, che compaia la derivata seconda della funzione da cercare.

Se l’equazione contiene la funzione incognita e tutte le sue derivate, si dice completa altrimenti è detta incompleta.
Le soluzioni delle equazioni differenziali del secondo ordine sono funzioni della variabile x, contenenti due costanti reali arbitrarie, che indicheremo con

.
L’integrale generale di un’equazione differenziale del secondo ordine è dato quindi da una famiglia di funzioni del tipo .
Le soluzioni particolari si ottengono attribuendo ai parametri determinati
valori. Poiché l’integrale generale dipende da due parametri, occorre dare due condizioni se si vuol determinare una soluzione particolare.

Equazioni differenziali di ordine

In generale, possiamo definire equazioni differenziali di qualsiasi ordine come relazioni tra una variabile indipendente

, una funzione incognita e le sue derivate successive fino a quella di ordine :

Integrale generale di una equazione differenziale

Consideriamo una generica equazione differenziale di ordine , rappresentata dalla scrittura:

una funzione di equazione

si dice soluzione, o un integrale dell'equazione se, sostituendo la sua espressione e quelle delle sue derivate nell'equazione differenziale data, questa diventa un'identità.
In tal caso si dice anche che il grafico della funzione , è una curva integrale dell’equazione differenziale.
Diamo ora la definizione dell’integrale generale.
Se data una equazione differenziale di ordine n, è possibile determinare un’espressione del tipo :

tale che qualunque combinazione di numeri reali che si sostituiscono ai parametri

, la funzione di x che si ottiene da essa è un integrale dell’equazione differenziale data, allora si dice che è l’integrale generale dell’equazione differenziale.
Dato l’integrale generale di un’equazione differenziale per determinare un integrale particolare occorre conoscere una o più condizioni cui questo deve soddisfare. Il numero delle condizioni è pari all’ordine dell’equazione.

• Nel caso di equazioni del primo ordine, poiché nell’espressione dell’integrale generale compare un solo parametro, sarà sufficiente conoscere una sola condizione.
• Nel caso di equazioni del secondo ordine, per determinare il valore dei due parametri serviranno due condizioni.

Queste condizioni sono espresse assegnando i valori che la funzione incognita, o le sue derivate, devono assumere in dati punti.
Esistono anche degli integrali che non corrispondono a particolari valori dei parametri e sono detti perciò integrali singolari.

Per ulteriori approfondimenti sulle equazioni differenziali vedi qui