Problemi di primo grado

Risoluzione di problemi di primo grado

Imparare ad utilizzare le equazioni è molto importante, perché esse possono essere utilizzate per risolvere svariati tipi di problemi. Poiché le tipologie di problemi possono essere molto differenti tra di loro, non è possibile stabilire esatti passi da eseguire per risolverli, ma possiamo elencare delle indicazioni generali.

Per risolvere un problema è necessario tradurlo in un'equazione che ne rappresenti il modello matematico.

Per prima cosa, quindi, dobbiamo analizzare il problema individuando i dati noti, poi procediamo in questo modo:

1. Individuiamo l'incognita, cioè il dato il cui valore numerico non può essere facilmente dedotto, e associamolo ad una lettera (si usa generalmente la lettera (x)), che sarà la lettera dell'equazione;
2. Poniamo le eventuali condizioni di accettabilità (C.A.) della soluzione, cioè le limitazioni al valore dell'incognita che garantiscono la possibilità di ottenere risultati accettabili.
3. Scriviamo l'equazione: per farlo, cerchiamo di utilizzare i dati a disposizione e di creare un'uguaglianza fra una espressione contenente l'incognita e una parte nota, o tra due espressioni contenenti l'incognita;
4. Risolviamo l'equazione così ottenuta;
5. Confrontiamo la soluzione con le condizioni di accettabilità per stabilire se questa può essere accettata o meno;
6. Utilizziamo il dato ottenuto dall'equazione per concludere il problema e determinare la sua soluzione.

Vediamo ora qualche esempio di risoluzione di problemi di primo grado.

Esempio di risoluzione di un problema con le equazioni

Un padre ha 40 anni e suo figlio ne ha 14. Tra quanti anni l'età del padre sarà il doppio dell'età del figlio?

Per risolvere questo problema riguardante questioni di età, possiamo procedere con i passaggi prima indicati. Per prima cosa, analizziamo i dati che abbiamo:

[mbox{età del padre: 40 anni;}\
mbox{età del figlio: 14 anni;}]

Ora, poniamo le condizioni di accettabilità: poiché stiamo cercando una quantità che rappresenta un numero di anni, il valore trovato dovrà essere necessariamente positivo; escludiamo il caso in cui il numero di anni sia nullo, perché possiamo subito vedere che in questo momento, il padre non ha età doppia del figlio; quindi poniamo (x>0).

Cerchiamo ora di scrivere l'equazione, considerando i dati raccolti:

[\text{età del padre (oggi): 40 anni;}\
ext{età del figlio (oggi): 14 anni;}\
ext{età del padre (tra}\space x\space\text{anni):}\space (40+x)\space\text{anni}\
ext{età del figlio (tra}\space x\space\text{anni):}\space (14+x)\space\text{anni;}]

Poiché l'età del padre, dopo x anni, dovrà essere doppia rispetto a quella del figlio, l'equazione richiesta sarà la seguente:

[40 + x = 2 ( 14 + x )]

Risolviamo ora l'equazione:

[40 + x = 28 + 2x\
x - 2x = 28 - 40\
-x = - 12\
x = 12]

Quindi, abbiamo scoperto che tra 12 anni l'età del padre sarà doppia di quella del figlio; possiamo accettare il risultato poiché il valore trovato è positivo.

Per essere certi del risultato ottenuto, possiamo anche fare una verifica: basterà aggiungere all'età di padre e figlio il valore di (x) ottenuto:

[\text{età del padre fra 12 anni:}\space40 + 12 = 52\
ext{età del figlio fra 12 anni:}\space14 + 12 = 26]

ed, effettivamente, 52 è il doppio di 26.

Esempio 2

Aumentando il lato di un quadrato di due centimetri, la sua area aumenta di 16 cm(^2). Determinare il lato del quadrato.

Poiché dobbiamo determinare il lato del quadrato iniziale, che chiamiamo quadrato 1, scegliamo come incognita proprio questo valore:
[x =\space\text{lato quadrato}\space1]
A volte, per risolvere problemi di natura geometrica, può essere utile anche fare una figura che riassuma i dati conosciuti:

Ora, sapendo che il lato del quadrato 1 misura (x), possiamo determinare la sua area; allo stesso modo, aumentando di due centimetri questo lato, otteniamo la misura del lato del quadrato 2, e possiamo calcolare la sua area. I dati che abbiamo sono quindi questi:
[\text{lato quadrato 1 :}\space x cm;\
ext{lato quadrato 2 :}\space (x + 2) cm\
ext{area quadrato 1 :}\space x^2 cm^2\
ext{area quadrato 2 :}\space (x + 2) ^2 cm^2]

Sapendo che, aumentando di 2 il lato del quadrato 1, la sua area aumenta di 16 (cm^2), possiamo scrivere la nostra equazione:

[(x+2)^2 = x^2 + 16]

Risolviamo ora l'equazione:

[x^2+4x+4=x^2+16\
x^2+4x-x^2=16-4\
4x=12\
x=3]

Concludiamo, quindi, che il lato del quadrato era inizialmente di 3 cm.

Altre risorse utili

55 esercizi svolti su equazioni e problemi di primo grado

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